1、一、常用逻辑用语1充分条件与必要条件(1)若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若pq，则p是q的充要条件(3)若pq，qp，则p是q的充分不必要条件(4)若pq，qp，则p是q的必要不充分条件(5)若pq，q p，则p是q的既不充分也不必要条件2全称命题与存在性命题的否定(1)全称命题的否定p：xM，p(x)綈p：xM，綈p(x)(2)存在性命题的否定p：xM，p(x)綈p：xM，綈p(x)二、圆锥曲线与方程1椭圆(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(2)椭圆的标准方程焦点在x轴上：1(ab0)，焦点在y轴上：1(ab
2、0)(3)椭圆的几何性质范围：对于椭圆1(ab0)，axa，byb.对称性：椭圆1或1(ab0)，关于x轴，y轴及原点对称顶点：椭圆1的顶点坐标为A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)离心率：e，离心率的范围是e(0,1)a，b，c的关系：a2b2c2.2双曲线(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，叫做双曲线(2)双曲线的标准方程焦点在x轴上：1(a0，b0)，焦点在y轴上：1(a0，b0)；(3)双曲线的几何性质范围：对于双曲线1(a0，b0)，ya或ya，xR，对称性：双曲线1或1(a0，b0)关于x
3、轴，y轴及原点对称顶点：双曲线1(a0，b0)的顶点坐标为A1(a,0)，A2(a,0)，双曲线1(a0，b0)的顶点坐标为A1(0，a)，A2(0，a)，渐近线：双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.离心率：e，双曲线离心率的取值范围是e(1，)，a，b，c的关系：c2a2b2.3抛物线(1)抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线(2)抛物线的标准方程焦点在x轴上：y22px(p0)，焦点在y轴上：x22py(p0)(3)抛物线的几何性质范围：对于抛物线x22py(p0)，xR，y0，)对称性：抛物
4、线y22px(p0)，关于x轴对称，抛物线x22py(p0)，关于y轴对称顶点：抛物线y22px和x22py(p0)的顶点坐标为(0,0)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知e1.三、空间向量与立体几何1空间向量及其运算(1)共线向量定理：abab(b0)，(2)P，A，B三点共线xy(xy1)，(3)共面向量定理：p与a，b共面pxayb，(4)P，A，B，C四点共面xyz(xyz1)，(5)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底(6
5、)空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3，ababa1b1，a2b2，a3b3，abab0a1b1a2b2a3b30，|a|，cosa，b，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)，|.2立体几何中的向量方法(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角为，两条异面直线的方向向量分别为a，b，则cos |cosa，b|，(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角为，直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cosa，n|(
6、3)二面角二面角为，n1，n2为两平面的法向量，则|cos |cosn1，n2|1使ab成立的充分不必要条件是ab1.()ab1ab.2当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()3“全等三角形的面积相等”是存在性命题()4命题p：x(0，)，则x22x10，则綈p为：x(，0，使x22x10.()提示綈p应为x(0，)，使x22x10.5命题“菱形的两条对角线相等”是全称命题且是真命题()提示此命题是全称命题，但是是假命题6“x6”是“x1”的充分不必要条件()提示x6x1，但x1x6.7平面内与两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆()8椭圆上的点到焦点的最大距离为ac，最小距离为ac.(
7、)提示椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值9已知F1(4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆()提示|F1F2|8，故点的轨迹是线段F1F2.10椭圆2x23y212的焦点坐标为(0，)()提示椭圆标准方程为1，c2a2b22，故椭圆的焦点坐标为(，0)11已知椭圆的标准方程为1(m0)，焦距为6，则实数m的值为4. ()提示当焦点在x轴上时，由25m29得m4，当焦点在y轴上时，m2259得m.12已知F1(4,0)，F2(4,0)，动点P满足|PF1|PF2|8，则点P的轨迹是双曲线的右支()提示点P的轨迹是一条射线13“0k3”是方程1表示
8、双曲线的充要条件()提示当0k3时，方程1表示双曲线，若方程1表示双曲线，则有(k1)(k5)0，即1k0)中过焦点的最短弦长为2p.()提示抛物线中通径是最短的弦长19抛物线yax2(a0)的准线方程为y2，则实数a的值是.()提示抛物线标准方程为x2y，则2，解得a.20AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p.()21若空间任一点O和不共线的三点A，B，C满足，则点P与A，B，C共面()提示11，故四点共面22a，b为空间向量，则cosa，bcosb，a()提示a，bb，a，则cosa，bcosb，a23两个平面垂直，则这两
9、个平面的法向量也垂直()提示由平面法向量的定义可知24直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量垂直()提示直线的方向向量与平面的法向量平行25若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足k1e1k2e2k3e30，则k1k2k30.()提示假设k10，则e1e2e3，则e1，e2，e3共面26若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为150，则直线与平面所成的角为30.()提示直线与平面所成的角为60.27若直线与平面所成的角为0，则直线在平面内()提示直线与平面也可能平行28两个平面的法向量所成的角为120，则两个平面所成的二面角也是120.()提示二面角的度数是120或60.29两
10、条异面直线所成的角为30，则两条直线的方向向量所成的角可能是150.()提示根据向量所成角的定义知正确30若二面角是30，则在二面角的两个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方向向量所成的角也是30.()提示在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是30或150.1(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyxDyxA因为双曲线的离心率为，所以，即ca.又c2a2b2，所以(a)2a2b2，化简得2a2b2，所以.因为双曲线的渐近线方程为yx，所以yx.故选A2(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与
11、C交于M，N两点，则()A5B6C7D8D法一：过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以8.故选D.法二：过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易知F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故选D.3(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB
12、BC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B. C. D.C法一：如图，补上一相同的长方体CDEFC1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1DE1，则B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，所以DE12，DB1，B1E1，在B1DE1中，由余弦定理得cosB1DE1，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.法二：如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB
13、BC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以OMAD11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.法三：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示由条件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以(1,0，)，(1,1，)，则由向量夹角公式，得cos，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.4(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|M
14、N|()AB3 C2D4B因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故选B.5(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.解析法一：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x
15、2，y2)，则x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24.由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，则k.取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90，点M在准线x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2.答案26(2018全
16、国卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值解(1)由已知可得，BFPF，BFEF，又PF平面PEF，EF平面PEF，且PFEFF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，PF2PE2EF2，故PEP
17、F.可得PH，EH.则H(0,0,0)，P，D，为平面ABFD的法向量设DP与平面ABFD所成角为，则sin .所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.7(2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.解(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为yx或yx.(2)当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和为kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k得kMAkMB.将yk(x1)代入y21得(2k21)x24k2x2k220.所以x1x2，x1x2.则2kx1x23k(x1x2)4k0.从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补所以OMAOMB.综上，OMAOMB.
