1、最后冲刺【高考预测】1.数学归纳法 2.数列的极限3.函数的极限4.函数的连续性5.数学归纳法在数列中的应用6.数列的极限7.函数的极限8.函数的连续性易错点 1 数学归纳法1（2012精选模拟）已知a0,数列an满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,.()已知数列an极限存在且大于零，求A=(将A用a表示)；()设bn=an-A,n=1,2,证明：bn+1=-()若|bn|, 对n=1,2都成立，求a的取值范围。【错误解答】 ()由，存在，且A=（A0）,对aa+1=a+两边取极限得，A=a+. 解得A=又A0, A=()由an+bn+A,an+1=a+得bn+1+A=a+.即对n=1,
2、2都成立。()对n=1,2,|bn|，则取n=1时，,得,解得。【错解分析】第问中以特值代替一般，而且不知bn数列的增减性，更不能以b1取代bn.【正确解答】 () ()同上。()令|b1|,得现证明当时，对n=1,2,都成立。(i)当n=1时结论成立（已验证）。2(2012精选模拟题)已知数列an中,a1=3,前n项和Sn满足条件Sn=6-2an+1.计算a2、a3、a4,然后猜想an的表达式。并证明你的结论。【错误解答】 当n2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.因为a1=3,所以a2=a1=,a3=a2=,a4=a3=由此猜想a
3、n=当n=1时，a1=3,结论成立；假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以又a1=3,所以an是首项为3公比为的等比数列。由此得ak+1=3（）k+1-1=,这表明，当n=k+1时结论也成立。由、可知，猜想对任意nN*都成立。【错解分析】应由a1=S1=6-2a2,求得a2=,再由an+1=an(n2)求得a3=,a4=,进而由此猜想an=(nE*).用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设，而是根据等比列的通项公式求得ak+1=.这种证明不属于数学归纳法。【正确解答】 由a1=S1=6-2a2,a1=3,得a2=当n2时，an=Sn-Sn-1
4、=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1, a1=b(b0),an,n=2,3,4,.()证明：an，n=2,3,4,5,;()猜测数列an是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当nN时，对任意b0,都有an10=1024.取N=1024,有an.【错解分析】（1）在运用数学归纳证明时，第n-k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化，不能去拼凑。【正确解答】 （）证法1：当n2时，0an,于是有，所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，a1b,an10,n210=1024,故取N=1024，可使当nN时 ,都有an0)与直线l
5、:y=x相交于A1,作A1B1l交x轴于B1,作B1A2l交曲线C于A2依此类推。（1）求点A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标；答案： A1(1,1)、A2（+1, -1）、A3（+,-）、B1（2,0）、B2（2,0）、B3（2,0）（2）猜想An的坐标，并加以证明；答案： An(,证明略.（3）答案：设An(由题图：A1（1，1），B1（2，0） a1=1,b1=2且，分子分母乘以（）及3 设数列a1,a2,，an,的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1-ban-其中b是与n无关的常数，且b-1。（1）求an和an-1的关系式；由此猜想an=把a1=代入上式得an= （3）当0b0,
6、b0).()当a=b时，求数列un的前项n项和Sn。（）求。【错误解答】 （）当a+b时，rn=(n+1)an.Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an.则aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1.两式相减：Sn=() =a.【错解分析】（）问运用错位相减时忽视a=1的情况。（）a=b是（）的条件，当ab时，极限显然不一定是a.【正确解答】 （）当a=b时，un=(n+1) an.这时数列un的前n项和Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an.式两边同乘以a,得aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1 式减去式，得（1-a）Sn=
7、2a+a2+a3+an-(n+1)an+1若a1,(1-a)Sn=-(n+1)an+1+aSn=【特别提醒】1充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限C=C.(C为常数). =0.qn=0,|q|0,a1),设y4=17,y7=11.(1)求数列yn的前多少项最大，最大为多少？答案：由已知得，数列为关数列，y4=17,y7=11,公差d=的前12项最大，最大为144.（2）设bn=2yn,sn=b1+b2+bn,求的值。答案： bn=2yn,Sn=b1+b2+bn, bn为等比数列.且公比为q=,Sn=|1,=易错点 3 函数的极限1（2012精选模拟）若（）=1，则常数a,b的值为 （ ）
8、Aa=-2,b=4 Ba=2,b=-4Ca=-1,b=-4 Da=2,b=4【错误解答】 A =故能约去（1-x）, a=-2,b=4.【错解分析】（ax+a-b）中有在式（1-x）的求解中，注意a、b的符号。【正确解答】 C =故ax+a-b中必有因式（1-x），且极限为1。故a=-2,b=-4.2（2012精选模拟）若则 （ ）A-1 B1C- D 4（2012精选模拟）= （ ）A- B0 C D【错误解答】 B 当x-3,x+3=0,故=0。【错解分析】求函数极限时，分母为0的因式应约去才可代入。对诊下药A 【特别提醒】1求函数的极限时，如果xx0即x0是连续的点。即使函数f(x)有意
9、义的点，只需求f(x0)的值。就是函数的极限值。2当f(x)在x0处不连续时，即x=x0代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意义时再求f(x0)的值，即为极限值。3已知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。【变式训练】1 设f(x)在x0处可导，f(x0)=0则nf(x0-)=_.答案：-f(x0) 解析：=2 ( )A. B. C.0 D.2答案： B解析：略3 已知=a,且函数y=aln2x+c在1，e上存在反函数，则 （ ）Ab(-，0)Bb(2e,+)Cb(-，0) (2e,+)Db(0，2e)答案： C解析：略4 设f(x)是x的三
10、次多项式，已知=1，试求的值。（a为非零常数）.答案：解：由于可知f(2a)=0 同理f(4a)=0 可知f(x)必含有（x-2a）与（x-4a）有因式，由于f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C),这里A、C均为选定的常数，由即即4a2A-2aCA=-1 同理，由于即8a2A-2Aca=1 由得C=3a,A=易错点 4 函数的连续性1（2012精选模拟）极限f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的 （ ）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件【错误解答】 C f(x)存在f(x)在点x=x0处连续。【错解分析】f
11、(x)f(x0)时，则f(x)在点x=x0处不连续。f(x)的定义域为（-，-1）（-1，+）。而在定域内，x=1时。f(x)=0. f(x)=-1. f(x)不存在。故f(x)在x=1处不连续。f(x)在定义域内不连续。【特别提醒】1在判断函数的连续性时，充分运用它的重要条件，即f(x)=f(x0).前提是f(x)在x0处的极限要存在。2在求函数的不连续点时，或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。【变式训练】1 f(x)在x=1处连续，且=2，则f(1)等于 （ ）A-1 B0 C1 D2答案： B解析：略2 =_.4 求函数f(x)=的不连续点
12、和连续区间答案：解：不连续点是x=1,连续区间是（-，1）（1+）【知识导学】难点 1 数学归纳法在数列中的应用1已知数列an满足条件（n-1）an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(nN*), (1)求bn的通项公式；（2）求（）的值。【解析】 （1）运用归纳猜想证明。（2）裂项法先求数列的和，再求和的极限。【答案】 1.(1)当n=1时，代入已知式子中，得a1=1,当n=2时，得a3=6，同理可得a4=28, |f(2k)-f(2i)| 【解析】 运用数学归纳法证明。【答案】 1当k=1时，左=0=右，命题成立。2假设k=n时，不等式成立，即|f(2k)-f(2i)|
13、 则k=n+1时，|f(2k+1)-f(2i)|= |f(2k+1) -f(2i)+f(2n)-f(2i)| |f(2k+1)-f(2i)|+= |f(2k+2n)-f(2i)|+ =n+=. 故当k=n+1时，命题也成立。由1，2可知原不等式成立。难点 2 数列的极限1已知（x）6的展开式的第五项等于，则（x-1+x-2+x-n）等于 A0 B1 C2 D-1 解题思路利用二项式的通项公式求出x的值，再求数列和的极限。【答案】 B T5=C46（x-1）4()2=15x-1=x-1=,lim(x-1+x-2+x-n)=lim()=.选 B2设xn=,求数列xn的极限。【解析】 由于的极限都不
14、存在，所以应先将xn变形，使之变成极限可求的数列。【答案】 因为xn=用除分子和分母，得xn=,而1由1+得知再应用除法运算，即求得xn=.*3.已知a、b是不相等的正数，若=2，则b的取值范围是 （ ）A0b2 B0b2【解析】 B 讨论a与b的大小后，分子、分母同除以，后再求由极限值求范围。【答案】 当ab时，0b2.当ab时，=-b0不可能为2，故ab不成立。b的范围是（0，2）。故选B难点 3 函数的极限12求【解析】 将分子有理化，使分子分母极限存在。【答案】 =。难点 4 函数的连续性1函数f(x)在x0处有定义是（fx）存在的 （ ）A充分不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D
15、既不充分也不必要条件【解析】 利用极限在某点存在性判断【答案】 D 函数在x0处有定义，但在此点处极限不一定存在，反之也不一定，如图（1）（2）。2设f(x)=当a取何值时，函数f(x)是连续的？【解析】 利用连续的存在性的充要条件，即（x）=f(x0)，以及连续的定义。【答案】 x0连续，只须判断，当x=0时，函数也连续时，从而求a的值。f(x)在x=0处有定义，且f(x)= f(x)=a.只有当a=时。f(x)才存在，且值为。又f(0)=a 当a=时。f(x)是连续函数。【特别提醒】1深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念，即函数f(x)在x0处有定义。f(x)在x0处有极限。f(x)=f
16、(x0).函数f(x)在x0处连续反映在图像上是f(x)在x0处是不间断的。2由连续的定义，可以得到计算极限的一种方法：如果f(x)在定义区间内是连续的，则 f(x)=f(x0)，只要求出函数值f(x0)即可。【典型习题导练】1 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m，使得对任意nN,都能使m整除f(n),则最大的m的值为 （ ）A30 B26 C36 D6答案： C.解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1)、f(2)、f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整流器除。证明：n=1、2时，由上得证，设n=k(kl2)时，f(k)=(2k+7
17、)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)-f(k)=(2k+9)3k+1-(2k+7)3k=(6k+27)3k-(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k-2(k2)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m的值等于36.2 记二项式（1+2x）n展开式的各系数和为an,其二项系数为b，则等于 （ ）A B C1 D0答案： A 解析：略f(x) 6 观察下列式子： 则可归纳出_.答案：:1+归纳为1+7 =_.答案：0 解析：略8 an是（3-）n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，）则（）=_。答案：18 解析：略9 （+an+b）=3则a+b=_
18、.比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论。答案：证明：由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+)而取n=1,有（1+1）=取n=2,有（1+1）（1+）推测：（1+1）（1+）（）1+当n=1时，已验证（*）式成立.假设n=k(k1时（*）式成立，即（1+1）（1+）（1+）则当n=k+1时，（1+1）（1+）（1+=即当n=k+1时，（*）式成立由知，（*）式任意正整数n都成立.于是，当a1时，Snlogabn+1,当0a1时，Sn0且a1),若数列：2，f(a1),f(2),f(an),2n+4(nN*)成等
19、差数列。（1）求数列an的通项an;求q的取值范围。答案：解：a1a2=-q,a1=2,a20,q0,a2=-,anan+1=-qn,an+1an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a =2qn猜想：a2n+1=-综合，猜想通项公式为下证：（1）当n=1,2时猜想成立（2）设n=2k-1时，a2k-1=2qk-1则n=2k+1时，由于a2k+1=qa2k-1a2k+1=2qk即n=2k-1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时，a2k=-qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=qa2k,所以，a2k+2=-qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.综合所述，对一切自然数
20、n，猜想都成立.13若Sn和Tn分别表示数列an和bn的前n项和，对任意正整数an=-2(n+1),Tn-3S=4n.()求数列bn的通项公式；答案：an=-2(n+1) a1=4 d=-2Sn=-n2-3n Tn=3Sn+4n=-3n2-5n当n=1时，T1=b1=-3-5=-8当n2时，bn=Tn-Tn-1=-6n-2 bn=-6n-2.（）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为bn.且与曲线y=x2有且仅一个交点，与y轴交于Dn，记dn=-(2n+7)求dn;答案：设ln:y=bnx+m.由=令x=0得y=-(3n+1)2 Dn(0,-3(n+1)2)Dn+1 (0,-3,(n+4)2dn
21、=|DnDn+1|-(2n+7)=4n-2()若xn=(nN)求证(x1+x2+xn-n)=1.答案： xn=x1+x2+xn-n=(1-14 某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给开了一些消炎药，并嘱咐每天早晚8点各服用一片药片，已知该药品每征220mg,他的贤脏每次12小时从体内滤出这种药的60%，如果这种药在体内残留超过386mg,将产生副作用。请问：（1）该同学上午8时第一次服药后，到第二天早晨服药后，药在体内还残留多少？答案：设该生第n次服药后，药在体内的残留量为anmg,由题意得a1=220,且an+1=0.4an+220,nN*a2=308,a3=343.2故到第二天早晨服药后，
22、药在体内还残留343.2mg（2）该同学若长期服用该药，会不会产生副作用？答案：an+1=0.4an+220an+1-an -是公比为0.4的等比数列，an -=(220- )0.4n-1an=(220- )0.4n-1+故长期服用此药不会产生副作用，15 已知点集L=（x,y）|y=mn,其中m=(2x-b,1),n=(1,b+1),点列Pn(an,bn)在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列an的公差为1，nN+.(1)求数列an,bn的通项公式；答案：由L：y=2x+1, P1(0,1)，则a1=0,b1=1,an=n-1(nN+),b=2n-1(nN+)（2）若Cn=求(c1+c2+cn);