1、考点规范练38数学归纳法基础巩固1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:在用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2nn3,则验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()A.1B.9C.10D.n10,且nN*答案:C解析:210=1024103,29=51293,所以第一个n的最小值应该是10.故选C.3.命题P(n)对于n=1成立,如果n=k成立,那么对于n=k+2也成立.下述结论正确的是()A.P(n)对于所
2、有的自然数n都成立B.P(n)对于所有的正奇数n都成立C.P(n)对于所有的正偶数n都成立D.P(n)对于所有大于3的自然数n都成立答案:B解析:由于若命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.又已知命题P(1)成立,可推出P(3),P(5),P(7),P(9),P(11)均成立,即P(n)对所有的正奇数n都成立.4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,nN*,能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1(kN*)时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3答案:A解析:假设n=k(kN*)时,k3+(k+1)3+(
3、k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设证明,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选A.5.对于不等式n2+nn+1(nN*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,12+11+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k2+kk+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+20,f(x)=axa+x,令a1=1,an+1=f(an),nN*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.答案:(1)解a1=1,a0,a2=f(a1)
4、=f(1)=a1+a;a3=f(a2)=a2+a;a4=f(a3)=a3+a.猜想an=a(n-1)+a(nN*).(2)证明易知当n=1时,猜想正确.假设当n=k(kN*)时,猜想正确,即ak=a(k-1)+a,则ak+1=f(ak)=aaka+ak=aa(k-1)+aa+a(k-1)+a=a(k-1)+a+1=a(k+1)-1+a.故当n=k+1时,猜想正确.由知,对于任何nN*,都有an=a(n-1)+a.能力提升10.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+12n-145,45+12n45,不能推得不等式1n+1+1n+2+12n45成立,故排除选项A,C;对于选项D,当n=2时,不等
5、式左端为13+14=712,右端为45-14=1120,不等式不成立,故排除D;对于选项B,由于1n+1+1n+2+12n1n+1+1n+2+12n+12n+1,即只要证1n+1+1n+2+12n45-12n+1,易知当n=2时,不等式成立.假设当n=k时,不等式成立,则1k+1+1k+2+12k45-12k+1;当n=k+1时,1k+2+12k+12k+1+12k+245-12k+1-1k+1+12k+1+12k+2=45-12k+20.对于给定的正整数k,bn=anan+k(nN*),bn+1=an+1an+k+1.bn+1bn=an+1an+k+1anan+k=q20.又b1=a1a1+
6、k0,bn是等比数列.故an为B(k)数列.(2)解an=a1qk-1,n=2k-1,a2qk-1,n=2k(a22a12q,kN*),简洁的例子如:an=1,n=2k-1,2,n=2k(kN*).(3)证明an为B(1)数列,bn为等比数列,其中bn=anan+1(nN*).bn+1bn=an+1an+2anan+1=an+2an(nN*).an+2an(nN*)是常数列,设常数为q2,即an+2an=q2(nN*).下面利用数学归纳法证明an+12=anan+2(nN*),已知a22=a1a3,则当n=1时命题成立;假设n=k-1(nN*,k2)时命题成立,即ak2=ak-1ak+1.当n=k时,an+2an(nN*)是常数列,ak+2ak=ak+1ak-1(kN*,k2),akak+2=ak2ak+1ak-1=ak+12,等式也成立.根据和可知an+12=anan+2对任意nN*都成立,即an是等比数列.高考预测14.已知f(n)=1+12+13+1n(nN*),经计算得f(4)2,f(8)52,f(16)3,f(32)72,则其一般结论为.答案:f(2n)n+22(n2,nN*)解析:因为f(22)42,f(23)52,f(24)62,f(25)72,所以当n2时,有f(2n)n+22.故填f(2n)n+22(n2,nN*).