1、函数与方程一、选择题1已知方程lg x0的根为x0，则下列说法正确的是()Ax0(0,1) Bx0(1,10)Cx0(10,100) Dx0(100，)A设f(x)lg x，函数f(x)的定义域为(0，)，易知函数f(x)在(0，)上是增函数，又x0时，f(x)0，f(1)lg 1110，方程lg x0的根所在区间是(0,1)，故选A2(2021昌平区高三期末)函数f(x)ln(x1)的一个零点所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)B因为f(x)ln(x1)在(0，)上是连续函数，且f(x)0，即f(x)在(0，)上单调递增，因为f(1)ln 210，所以f(1)
2、f(2)0时，作出函数yln x和yx22x的图象，由图知，当x0时，f(x)有2个零点；当x0时，由f(x)0，得x综上，f(x)有3个零点9已知函数f(x)|1x2|a，若f(x)有四个零点，则实数a的取值范围是_(1,0)函数yf(x)有四个零点，即ya与y|1x2|有四个交点，作出函数y|1x2|的图象如图，由图可知0a1，即1a0三、解答题10已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点(1)求m的值；(2)求函数的零点解(1)因为f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt(t0)，则t2mt10当0时，即m240，所以m2，当m2时，t1；
3、当m2时，t1(不合题意，舍去)所以2x1，x0符合题意当0时，即m2或m2，t2mt10有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点所以这种情况不符合题意综上可知：当m2时，f(x)有唯一零点(2)由(1)可知，该函数的零点为011设函数f(x)(x0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解(1)如图所示(2)因为f(x)故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，所以2(3)由函数f(x)的图象可知，当0m1时，函数f(x)的图象与直线
4、ym有两个不同的交点，即方程f(x)m有两个不相等的正根1已知x表示不超过实数x的最大整数，g(x)x为取整函数，x0是函数f(x)ln x的零点，则g(x0)等于()A1B2C3D4Bf(x)在(0，)上为增函数，f(2)ln 210，f(3)ln 30，故x0(2,3)，g(x0)x02故选B2若x1是方程xex1的解，x2是方程xln x1的解，则x1x2等于()A1 B1 Ce DA考虑到x1，x2是函数yex，函数yln x与函数y的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于yx对称，因此x1x21故选A3函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)对任意的xR都有f(x2)f(x2)
5、若在区间5,3上函数g(x)f(x)mxm恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围解因为对任意的xR都有f(x2)f(x2)，所以函数f(x)的周期为4由在区间5,3上函数g(x)f(x)mxm有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)mxm的图象在5,3上有三个不同的交点在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间5,3上的图象，如图所示由图可知m，即m1(2021北京高考) 已知f(x)|lg x|kx2，给出下列四个结论：(1)若k0，则f(x)有两个零点；(2)k0，使得f(x)有一个零点；(3)k0，使得f(x)有三个零点；(4)k0，使得f(x)有三个零点以上正确结论
6、的序号是_(1)(2)(4)零点问题，转化成两个函数的交点来分析令f(x)|lg x|kx2，可转化成两个函数y1|lg x|，y2kx2的交点问题对于(1)，当k0时，|lg x|2，两个交点，(1)正确；对于(2)，存在k0，使y1|lg x|与y2kx2相切，(2)正确；对于(3)，若k0，y1|lg x|与y2kx2最多有2个交点，(3)错误；对于(4)，当k0时，过点(0,2)存在函数g(x)lg x(x1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确2已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同的实根，求a的取值范围解由f(x4)f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x4)f(x)f(4x)，所以函数图象关于x2对称，且f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三个不同的根，则满足解得a，故a的取值范围是(，)