1、钟山中学2023年1月高一期末考试数学试卷（考试范围：北师大版必修一、必修二全册）一、选择题（本题包括12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分）1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用并集的定义，即可得答案；【详解】，故选：B.【点睛】本题考查并集的运算，属于基础题.2. 函数的定义域是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分母不等于零，对数真数大于零联解即可.详解】由题得所以函数的定义域为：故选：D3. 圆(x1)2(y2)24的圆心坐标和半径分别为()A. (1,2)，2B. (1，2)，2C. (1,2)，4D. (1
2、，2)，4【答案】A【解析】【详解】根据圆的标准方程可知，圆(x1)2(y2)24的圆心坐标为(1,2)，半径r2,选A.4. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对选项运用奇偶性和单调性的定义，结合常见函数的奇偶性和单调性，判断即可得到结论【详解】解：定义域为，因为，且，所以此函数为非奇非偶函数；的定义域为，因为，且，所以此函数为非奇非偶函数；的定义域为，因为，所以为奇函数，但在和上为减函数，所以此函数不符合题意；的定义域为，因为，所以为奇函数，因为当时，为增函数，则在上递增，符合题意，故选：D【点睛】此题考查函数的奇偶性和单调
3、性的判断，属于基础题5. 已知直线与直线垂直，则（）A. 或B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线方程的一般式，直线垂直：即可求解.【详解】由直线与直线垂直，所以，解得或.故选：A【点睛】本题主要考查两直线垂直根据系数之间的关系求参数，需熟记公式，属于基础题.6. 函数的图象大致是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式得出函数的奇偶性和时，函数的符号，运用排除法得选项【详解】，为奇函数，故排除A，B；当时，故排除D，故选：C【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2
4、)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 若直线被圆截得的弦长为,则A. B. 5C. 10D. 25【答案】B【解析】【分析】圆的圆心坐标为,半径，根据弦长得到，计算得到答案.【详解】圆的圆心坐标为,半径,直线被圆截得的弦长为,可得圆心到直线的距离为,则.故选：【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.8. 已知圆的圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】设直径的两个端点分别A（a，0）B（0，b）圆心C为点（2，3），由中点
5、坐标公式得，a=4，b=6，r=，则此圆的方程是（x2）2+（y+3）2=13，即x2+y24x+6y=0故选A9. 三个数之间的大小关系是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性同时比较和1的大小，即可比较出它们的大小关系.【详解】,因此.故选：.【点睛】本题主要考查的是对数函数、指数函数的单调性，要熟记一些特殊点，是基础题.10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）AB. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据三棱锥的三视图得到直观图，再求其体积即可.【详解】依题意可知，该三棱锥的直观图如下：平面，边上高为2，故体积故选：C.11
6、. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】因为,可得:其圆心为,到距离为:,设与直线距离是,解得与直线距离是的直线有两条:和,讨论两条:和与圆的位置关系,即可求得答案.【详解】可得:其圆心为根据点到直线距离公式可得到距离为:设与直线距离是.根据平行线间距离公式可得:解得:或与直线距离是的直线有两条:和又圆心到距离:圆心到距离: 如果圆与相交,那么圆也肯定与相交,交点个数多于两个,于是圆上点到的距离等于的点不止两个. 圆与不相交,如果圆与的距离小于等于,那么圆与和交点个数和至多为个, 圆只能与相交,与相离.故选:B.【点睛】本
7、题考查了根据圆上点与直线的距离求圆的半径范围,解题关键掌握求直线与圆位置关系解法,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12. 若(为自然对数的底数)，则函数的最大值为（）A. 6B. 13C. 22D. 33【答案】B【解析】【分析】先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可.【详解】由及知，故定义域为，又令，则，易见y在上单调递增，故当时，即时，.故选：B.【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.二填空题（本题包括4题，共20分）13. 已知函数，则_【答案】8【解析】【分析】根据换元法，令得，进而得，再算即
8、可.【详解】解：令，则，所以.所以，故答案为：.14. 直线经过的定点坐标是_【答案】【解析】【分析】将直线方程化为点斜式方程判断即可.【详解】解：将化点斜式方程得，所以，直线经过的定点坐标为故答案为：15. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【详解】函数有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么16. 我国古代数学名著九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，则该“阳马”外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】以，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求
9、出外接球的表面积.【详解】由题意，以，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，则故.故答案为：【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.三、解答题（本题包括6题，第17题10分，第18题至22题每小题12分，共70分）17. 分别求满足下列条件的直线方程（1）过点，且平行于：的直线；（2）与：垂直，且过点的直线【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两条直线平行斜率相等，再结合点斜式方程求解即可；（2）根据两条直线垂直斜率乘积为得所求直线斜率，再结合点斜式方程求解即可；【小问1详解】解：所求直线行于，：的斜率为所求直线的斜率为，又过点为，
10、由点斜式可得直线方程为，即；所求直线方程为【小问2详解】解：因为所求直线与垂直，：的斜率为，所以，所求直线的斜率为，因为所求直线过点所以，所求直线方程为，即所以，所求直线方程为18. 已知函数(a0，且a1)的图象经过点.（1）求a的值；（2）设不等式的解集为，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数的图象经过点，由a2-1=求解.（2）由f(x)=，利用指数函数的单调性求得，再利用指数函数的单调性求解.【详解】（1）因为函数图象过点，所以a2-1=，解得a=.（2）f(x)=，所以，解得，故，因为x0，所以x-1-1，所以0=3.所以函数的值域为(0，3.19.
11、已知偶函数，当时，（1）请在下图中做出的图像，并写出的解析式；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）作图见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，作出的函数图像，再关于轴对称即可，再根据偶函数性质求解解析式即可；（2）结合，根据偶函数性质求解即可.【小问1详解】解：如图，当时，所以；是偶函数，所以当时，综上【小问2详解】解：由题设知，所以，又是偶函数，所以或，得或所以，实数的取值范围为20. 如图所示的四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PC的中点，求证：（1）PA平面BDE；（2）平面PAC平面PBD【答案】详见解析【解析】【详解】试题分析：
12、（1）连接交于点，连接,根据线面平行的判定定理，证即可；（2）根据面面垂直的判定定理，找线面垂直，所以主要证明试题解析：证明：（1）连结AC交BD于点O,连结OE四边形ABCD是菱形，AO=COE为PC的中点，EOPAPA平面BDE,EO平面BDE,PA平面BDE（2）PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，四边形ABCD是菱形，BDAC,BD平面PAC,BD平面PBD，平面PAC平面PBD考点：1线面平行的判定定理；2面面垂直的判定定理21. 已知圆M过C(1，1)，D(1，1)两点，且圆心M在x+y2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是
13、圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程；（2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案.【详解】解：（1）设圆的方程为：，根据题意得，故所求圆M方程为：；（2）如图，四边形的面积为，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即为点到直线的距离所以，四边形面积的最小值为.22. 已知函数(I)证明：函数是减函数(II)若不等式对恒成立，求实数的取值范围【答案】（）见解析； （）.【解析】【分析】(I)根据单调性定义证明即可；(II)不等式（a+x）（x1）2对x2，+）恒成立，得到ax在2，+）上恒成立，根据函数的单调性即可求出a的范围【详解】(I)在上任取，令，即，在上单调递减(II)在恒成立，在上恒成立，由（）可知在上单调递减，【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法
