1、第 4 讲 平面向量 高考要点回扣 1基本概念向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量2平面向量的和与差(1)A1A2A2A3An1AnA1An.(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)(3)向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则3实数与向量的积实数 与向量 a 的积是一个向量(1)|a|a|；(2)当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 且 a、b 不同向；a，b为直角ab0 且 a、b0；a，b为钝角ab0 且 a、b 不反向易错警示 投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零如已知|a|3，|b|
2、5，且 ab12，则向量 a 在向量 b 上的投影为_6向量的平行与垂直设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 b0，则 abbax1y2x2y10.ab(a0)ab0 x1x2y1y20.125精品回扣练习 1已知 a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中 x(0，)若|ab|a|b|，则 tan x 的值等于_解析 由|ab|a|b|知，ab，所以 sin 2x2sin2x，即 2sin xcos x2sin2x，而 x(0，)，所以 sin xcos x，即 x4，故 tan x1.1 2(2011江西)已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则 a 与 b的夹角为_解析(
3、a2b)(ab)|a|22|b|2ab2 且|a|b|2，ab2，cosa，b ab|a|b|12.而a，b0，a，b3.33已知 a(3,1)，b(1，2)，(2ab)(akb)，则实数 k 的值是_解析 a(3,1)，b(1，2)，(2ab)(7，4)，(akb)(3k,12k)又(2ab)(akb)，7(12k)(3k)(4)0，k12.124(2011天津)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_解析 方法一 以 D 为原点，分别以DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DCa，
4、DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA(2，x)，PB(1，ax)，PA3PB(5,3a4x)，|PA3PB|225(3a4x)225，|PA3PB|的最小值为 5.方法二 设DPxDC(0 x1)，PC(1x)DC，PADADPDAxDC，PBPCCB(1x)DC12DA，PA3PB52DA(34x)DC，|PA3PB|2254 DA2252(34x)DADC(34x)2DC 225(34x)2DC225，|PA3PB|的最小值为 5.答案 5 5在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM1，点 P 在 AM 上且满足AP2PM，则PA(PBPC)等
5、于_解析 AM1，且AP2PM.|AP|23.如图：AP(PBPC)AP2PMAPAPAP223249.496(2010陕西)已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则 m_.解析 a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)(ab)c，c(1,2)，2(1)(m1)0.m1.1 7向量 a，b 满足(ab)(2ab)4，且|a|2，|b|4，则a 与 b 夹角的余弦值为_解析 由(ab)(2ab)4，得 2a2abb24.a2|a|2，b2|b|2，设 a 与 b 夹角为，即 24|a|b|cos 164，得 cos 12.a 与 b 夹角的余弦值为12.128如图
6、，四边形 ABCD，AD2，BC3，则(ABCD)(BCAD)_.解析(ABCD)(BCAD)(ADDBBDBC)(BCAD)(ADBC)(ADBC)AD2BC2495.5 9已知正ABC 的边长为 1，且BCa，CAb，则|ab|_.解析 由题意和图知，a 与 b 的夹角为18060120，且|a|b|1，ab|a|b|cos 12012.|ab|2a2b22ab3，|ab|3.310已知向量 m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C，且 A、B、C 分别为ABC 的三边 a、b、c 所对的角(1)求角 C 的大小；(2)若 sin A，sin C，sin B 成等差数列，且CA(ABAC)18，求边 c 的长解(1)mnsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)对于ABC，ABC,0C，故 sin(AB)sin C，所以 mnsin C.又 mnsin 2C，所以 sin 2Csin C，即 cos C12，C3.(2)由 sin A，sin C，sin B 成等差数列，得 2sin Csin Asin B，由正弦定理得 2cab，因为CA(ABAC)18，所以CACB18，即 abcos C18，ab36.由余弦定理 c2a2b22abcos C(ab)23ab，所以 c24c2336，c236，所以 c6.返回