1、考点规范练28平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b22.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,ab=-6,则cos=()A.-3135B.-1935C.1735D.19353.在ABC中,B=90,AB=BC=1.点M满足BM=2AM,则CMCA=()A.1B.2C.3D.44.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则ABBC=()A.-3B.-2C.2D.35.(2021江苏常熟中学三模)已知向量m=(1,)
2、(R),n=(2,-1),若mn,则向量m-n与n的夹角为()A.4B.3C.23D.346.(2021吉林省吉林市模拟)如图,一副三角板有两种规格,一种是等腰直角三角形,另一种是有一个锐角是30的直角三角形,且这两种三角板斜边之比为32.如图,四边形ABCD就是由这两种三角板拼成的,|AB|=2,ABC=60,则ABCD+ACDB的值为()图图A.23B.-6C.-6-23D.-237.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且pq,则|p+q|的值为()A.5B.13C.5D.138.点P为椭圆x216+y215=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=1的任意一条直径,则PEPF
3、的取值范围是()A.(8,24)B.8,24C.5,21D.(5,21)9.如图,已知在圆O中,弦AB的长为3,圆上的点C满足OA+OB+OC=0,那么AC在OA方向上的投影为()A.12B.-12C.32D.-3210.(2021全国)已知向量a=(1,3),b=(3,4).若(a-b)b,则实数=.11.(2021北京海淀模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则a与b的夹角为,|2a-b|=.12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)(2a+b)=9.(1)求向量a与b的夹角;(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.能力提升13.已知非零向量m,n
4、满足4|m|=3|n|,m,n的夹角为,cos=13.若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.94D.-9414.已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-115.(2021广西南宁二中月考)著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.已知ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,M为BC中点,且AB=4,AC=2,则下列各式错误的是()A.AGBC=4B.AOBC=-6C.OH=
5、OA+OB+OCD.AB+AC=4OM+2HM16.(2021天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC(不含端点)上的动点,DEAB且交AB于点E,DFAB且交AC于点F,则|2BE+DF|的值为;(DE+DF)DA的最小值为.17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1.若e为平面单位向量,则|ae|+|be|的最大值是.高考预测18.(2021广西桂林模拟预测)已知平面向量a,b满足|a|=|b|=1,a(a-2b),则|a+b|=.答案：1.B解析A项,设向量a与b的夹角为,则ab=|a|b|cos|a|b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|
6、=|a|-|b|;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,故选B.2.D解析a(a+b)=a2+ab=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2ab=25+36-12=49,|a+b|=7,cos=a(a+b)|a|a+b|=1957=1935.3.C解析由题意知,ABC为等腰直角三角形,AC=2,BAC=45.BM=2AM,点A为线段BM的中点.AM=AB=1.CMCA=(CA+AM)CA=CA2+AMCA=(2)2+12cos
7、45=3.故选C.4.C解析由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0).所以ABBC=(2,3)(1,0)=21+30=2.故选C.5.D解析(1)因为向量m=(1,),n=(2,-1),且mn,所以2-=0,解得=2,所以m-n=(1,2)-(2,-1)=(-1,3).设向量m-n与n的夹角为,则cos=cos=(m-n)n|m-n|n|=(-1)2+3(-1)(-1)2+3222+(-1)2=-22,又因为0,所以=34.6.C解析如图,建立平面直角坐标系.因为|AB|=2,ABC=60,所以|AC|=23,|AD|=6,则B(2,0
8、),C(0,23),D(-3,3),所以AB=(2,0),AC=(0,23),CD=(-3,-3),DB=(2+3,-3),所以ABCD+ACDB=-6-23.7.B解析由题意,得26+3x=0,解得x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=13.8.B解析连接PN.由题意得PEPF=(PN+NE)(PN+NF)=(PN+NE)(PN-NE)=PN2-NE2=PN2-1.由椭圆的方程知a=4,c=1,所以圆心N(1,0)也为椭圆的右焦点.所以a-c|PN|a+c,即3|PN|5.所以PEPF的范围是8,24.故选B.9.D解析连接BC,取AB的中点D,连接OD,则
9、ODAB,OA+OB=2OD.由OA+OB+OC=0,得2OD=-OC,所以点O,C,D共线.又OD垂直平分AB,所以CD垂直平分AB.所以AC=BC.同理AB=AC.所以ABC是等边三角形.所以OAC=30.又弦AB的长为3,所以AC在OA方向上的投影为-|AC|cos30=-332=-32,故选D.10.35解析由已知得,a-b=(1-3,3-4).由(a-b)b,得3(1-3)+4(3-4)=0,即15-25=0,解得=35.11.327解析由题意,向量a,b满足|a|=1,|b|=6.因为a(b-a)=ab-a2=ab-1=2,可得ab=3,所以cos=ab|a|b|=316=12.因
10、为0,所以=3,即a与b的夹角为3.又由|2a-b|2=4a2-4ab+b2=412-43+62=28,所以|2a-b|=27.12.解(1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)(2a+b)=9,所以4a2-3b2-4ab=9,即16-8cos-3=9.所以cos=12.因为0,所以=3.(2)由(1)可知ab=|a|b|cos3=1,所以|a+b|=a2+b2+2ab=7,a(a+b)=a2+ab=5.所以向量a在a+b方向上的投影为a(a+b)|a+b|=57=577.13.B解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k0),因为n(tm+n),所以n(tm+n)=n
11、tm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.14.B解析以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.当点P的坐标为0,32时,PA(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.15.A解析由G是ABC的重心可得AG=23AM=2
12、312AB+12AC=13AB+13AC,所以AGBC=13(AB+AC)(AC-AB)=13(|AC|2-|AB|2)=-4,故A项错误;过ABC的外心O分别作AB,AC的垂线,垂足为D,E,如图(1),易知D,E分别是AB,AC的中点,则AOBC=AO(AC-AB)=AOAC-AOAB=|AO|AC|cosOAE-|AO|AB|cosOAD=|AE|AC|-|AD|AB|=12|AC|2-12|AB|2=-6,故B项正确;因为G是ABC的重心,所以有GA+GB+GC=0,故OA+OB+OC=(OG+GA)+(OG+GB)+(OG+GC)=3OG+GA+GB+GC=3OG,由欧拉线定理可得O
13、H=3OG,故C项正确;如图(2),由OH=3OG,可得MG=23MO+13MH,即GM=23OM+13HM,则有AB+AC=2AM=6GM=623OM+13HM=4OM+2HM,D项正确.图(1)图(2)16.11120解析如图,设BE=x,x0,12.ABC为边长为1的等边三角形,DEAB,BDE=30,BD=2x,DE=3x,DC=1-2x.DFAB,DFC为边长为1-2x的等边三角形,DEDF,(2BE+DF)2=4BE2+4BEDF+DF2=4x2+4x(1-2x)cos0+(1-2x)2=1,|2BE+DF|=1.(DE+DF)DA=(DE+DF)(DE+EA)=DE2+DFEA=
14、(3x)2+(1-2x)(1-x)cos0=5x2-3x+1=5x-3102+1120,当x=310时,(DE+DF)DA有最小值,为1120.17.7解析设a与b的夹角为,由已知得=60,不妨取a=(1,0),b=(1,3).设e=(cos,sin),则|ae|+|be|=|cos|+|cos+3sin|cos|+|cos|+3|sin|=2|cos|+3|sin|,当cos与sin同号时等号成立.所以2|cos|+3|sin|=|2cos+3sin|=727cos+37sin=7|sin(+)|其中tan=233.显然7|sin(+)|7.上述不等式中等号能同时取到,故所求最大值为7.18.3解析因为a(a-2b),所以a(a-2b)=a2-2ab=1-2ab=0,所以ab=12.所以|a+b|=a2+b2+2ab=1+1+1=3.