1、能力课时4牛顿运动定律的综合应用(二)1模型特征突破一 等时圆模型(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示；(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示；(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。2思维模板例1 如图1所示，在倾角为的斜面上方的A点处旋转一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上，木板与竖直方向AC所成角度为，一小物块由A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则与角的大小关系()图 1AB2C2D3解析 如图所示，在竖
2、直线 AC上选取一点 O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过 A 点，且与斜面相切于 D 点。由等时圆模型的特点知，由 A 点沿斜面滑到 D点所用时间比由 A 点到达斜面上其他各点所用时间都短。将木板下端 B 点与 D 点重合即可，而COD，则 2。答案 B变式训练1.如图2所示，几条足够长的光滑直轨道与水平面成不同角度，从P点以大小不同的初速度沿各轨道发射小球，若各小球恰好在相同的时间内到达各自的最高点，则各小球最高点的位置()A在同一水平线上B在同一竖直线上C在同一抛物线上D在同一圆周上图 2解析 设某一直轨道与水平面成 角，末速度为零的匀减速直线运动可逆向看成初速度为零的匀加速直线运动，则
3、小球在直轨道上运动的加速度 amgsin mgsin，由位移公式得l12at212gsin t2，即lsin 12gt2，不同的倾角 对应不同的位移 l，但lsin 相同，即各小球最高点的位置在直径为12gt2 的圆周上，选项 D 正确。答案 D1模型特征(1)水平传送带模型突破二 传送带模型项目图示滑块可能的运动情况情景1(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速情景2(1)v0v 时，可能一直减速，也可能先减速再匀速(2)v0v 返回时速度为 v，当 v0v 返回时速度为 v0(2)倾斜传送带模型项目图示滑块可能的运动情况情景 1(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速情景 2(1)可能一直
4、加速(2)可能先加速后匀速(3)可能先以 a1 加速后以 a2 加速项目图示滑块可能的运动情况情景 3(1)可能一直加速(2)可能一直匀速(3)可能先加速后匀速(4)可能先减速后匀速(5)可能先以 a1 加速后以 a2 加速(6)可能一直减速项目图示滑块可能的运动情况情景 4(1)可能一直加速(2)可能一直匀速(3)可能先减速后反向加速(4)可能一直减速2.思维模板例 2 如图 3 所示，水平传送带两端相距 x8 m，工件与传送带间的动摩擦因数 0.6，工件滑上 A 端时速度 vA10 m/s，设工件到达 B 端时的速度为 vB。(取 g10 m/s2)图 3(1)若传送带静止不动，求vB；(
5、2)若传送带顺时针转动，工件还能到达B端吗？若不能，说明理由；若能，求到达B点的速度vB；(3)若传送带以v13 m/s逆时针匀速转动，求vB及工件由A到B所用的时间。解析(1)根据牛顿第二定律可知 mgma，则 ag6 m/s2，且 v2Av2B2ax，故 vB2 m/s。(2)能。当传送带顺时针转动时，工件受力不变，其加速度不发生变化，仍然始终减速，故工件到达 B 端的速度 vB2 m/s。(3)物体速度达到 13 m/s 时所用时间为 t1vvAa0.5 s，运动的位移为 x1vAt112at215.75 m8 m，则工件在到达 B 端前速度就达到了 13 m/s，此后工件与传送带相对静
6、止，因此物体先加速后匀速运动。匀速运动的位移 x2xx12.25 m，t2x2v0.17 s，tt1t20.67 s。答案(1)2 m/s(2)能，2 m/s(3)13 m/s 0.67 s分析传送带问题的关键要注意抓住两个关键时刻：一是初始时刻，根据物体速度v物和传送带速度v传的关系确定摩擦力的方向，二是当v物v传时(速度相等是解决问题的转折点)，判断物体能否与传送带保持相对静止。变式训练2水平传送带问题(多选)(2016广东中山模拟)如图4甲所示的水平传送带AB逆时针匀速转动，一物块沿曲面从一定高度处由静止开始下滑，以某一初速度从传送带左端滑上，在传送带上由速度传感器记录下物块速度随时间的
7、变化关系如图乙所示(图中取向左为正方向，以物块刚滑上传送带时为计时起点)。已知传送带的速度保持不变，重力加速度g取10 m/s2。关于物块与传送带间的动摩擦因数及物块在传送带上运动第一次回到传送带左端的时间t，下列计算结果正确的是()图 4A0.4B0.2Ct4.5 sDt3 s解析 由题图乙可得，物块做匀变速运动的加速度大小为 avt2.0 m/s2，由牛顿第二定律得 fmamg，则可得物块与传送带间的动摩擦因数 0.2，A 错误，B 正确；在 vt 图像中，图线与 t 轴所围“面积”表示物块的位移，则物块经减速、反向加速到与传送带相对静止，最后匀速运动回到传送带左端时，物块的位移为 0，由
8、题图乙可得物块在传送带上运动的总时间为 4.5 s，C 正确，D 错误。答案 BC3倾斜传送带问题如图 5 所示，与水平面成 30的传送带正以 v3 m/s 的速度匀速运行，A、B 两端相距 l13.5 m。现每隔 1 s 把质量 m1 kg 的工件(视为质点)轻放在传送带上，工件在传送带的带动下向上运动，工件与传送带间的动摩擦因数 2 35，取 g10 m/s2，结果保留两位有效数字。求：图 5(1)相邻工件间的最小距离和最大距离；(2)满载与空载相比，传送带需要增加多大的牵引力？解析(1)设工件在传送带加速运动时的加速度为 a，则mgcos mgsin ma代入数据解得 a1.0 m/s2
9、刚放上下一个工件时，该工件离前一个工件的距离最小，且最小距离 dmin12at2解得 dmin0.50 m当工件匀速运动时两相邻工件相距最远，则dmaxvt3.0 m。(2)由于工件加速时间为 t1va3.0 s，因此传送带上总有三个(n13)工件正在加速，故所有做加速运动的工件对传送带的总滑动摩擦力 f13mgcos 在滑动摩擦力作用下工件移动的位移xv22a4.5 m传送带上匀速运动的工件数 n2lxdmax3当工件与传送带相对静止后，每个工件受到的静摩擦力f0mgsin，所有做匀速运动的工件对传送带的总静摩擦力f2n2f0与空载相比，传送带需增大的牵引力Ff1f2联立解得F33 N。答案
10、(1)0.50 m 3.0 m(2)33 N1模型特征滑块木板模型(如图a)，涉及摩擦力分析、相对运动、摩擦生热，多次互相作用，属于多物体多过程问题，知识综合性较强，对能力要求较高，故频现于高考试卷中，例如2015年全国、卷中压轴题25题。另外，常见的子弹射击木板(如图b)、圆环在直杆中滑动(如图c)都属于滑块类问题，处理方法与滑块木板模型类似。突破三 滑块木板模型2思维模板例3 如图6所示，木板静止于水平地面上，在其最右端放一可视为质点的木块。已知木块的质量m1 kg，木板的质量M4 kg，长L2.5 m，上表面光滑，下表面与地面之间的动摩擦因数0.2。现用水平恒力F20 N拉木板，g取10
11、 m/s2。(1)求木板加速度的大小；(2)要使木块能滑离木板，求水平恒力F作用的最短时间；图 6(3)如果其他条件不变，假设木板的上表面也粗糙，其上表面与木块之间的动摩擦因数为10.3，欲使木板能从木块的下方抽出，对木板施加的拉力应满足什么条件？(4)若木板的长度、木块质量、木板的上表面与木块之间的动摩擦因数、木板与地面间的动摩擦因数都不变，只将水平恒力增加为30 N，则木块滑离木板需要多长时间？解析(1)木板受到的摩擦力 f(Mm)g10 N木板的加速度 aFfM 2.5 m/s2。(2)设拉力 F 作用时间 t 后撤去，F 撤去后，木板的加速度为a fM2.5 m/s2，可见|a|a木板
12、先做匀加速运动，后做匀减速运动，且时间相等，故 at2L解得：t1 s，即 F 作用的最短时间为 1 s。(3)设木块的最大加速度为 a 木块，木板的最大加速度为 a 木板，则 1mgma 木块解得：a 木块1g3 m/s2对木板：F11mg(Mm)gMa 木板木板能从木块的下方抽出的条件：a 木板a 木块解得：F125 N。(4)木块的加速度 a木块1g3 m/s2木板的加速度 a木板F21mgMmgM4.25 m/s2木块滑离木板时，两者的位移关系为 x 木板x 木块L，即12a木板t212a木块t2L代入数据解得：t2 s。答案(1)2.5 m/s2(2)1 s(3)F25 N(4)2
13、s在第(1)问，木板受到地面的摩擦力fN，其中N为木板对地面的压力，N(Mm)g，故f(Mm)g。有些同学受思维定势的影响，不深入分析，易错写为fMg。第(2)问中恒力F作用的最短时间的隐含条件是恒力作用一段时间后撤去，然后木板做减速运动，至木块和木板脱离时，木板速度恰好为零。第(3)(4)问中，有些同学不知道挖掘临界条件，木板能从木块下方抽出的条件为a木板a木块；木块滑离木板时两者位移关系：x木板x木块L。变式训练4滑板模型与图像结合(2016安徽六校教育研究会联考)如图7甲，水平地面上有一静止平板车，车上放一质量为m的物块，物块与平板车间的动摩擦因数为0.2，t0时，车开始沿水平面做直线运
14、动，其vt图像如图乙所示。g取10m/s2，平板车足够长，则物块运动的vt图像为()图 7解析 小车先做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，匀加速直线运动和匀减速直线运动的加速度大小相等，a车4m/s2，根据物块与车发生相对滑动时滑动摩擦力产生的加速度大小为a物g2 m/s2。设小车和物块在t时刻速度相同，有24a车(t6)a物t，解得t8 s，物块以2 m/s2的加速度减速至零也需要8 s，故只有选项C正确。答案 C5滑块木板模型如图 8 所示，物块 A、木板 B 的质量均为m10 kg，不计 A 的大小，B 板长 L3 m。开始时 A、B 均静止。现使 A 以某一水平初速度从 B 的最左
15、端开始运动。已知 A 与 B、B 与水平面之间的动摩擦因数分别为 10.3 和 20.1，g 取 10 m/s2。图 8(1)若物块A刚好没有从B上滑下来，则A的初速度多大？(2)若把木板B放在光滑水平面上，让A仍以(1)问中的初速度从B的最左端开始运动，则A能否与B脱离？最终A和B的速度各是多大？解析(1)A 在 B 上向右匀减速运动，加速度大小a11g3 m/s2木板 B 向右匀加速运动，加速度大小a21mg22mgm1 m/s2由题意知，A 刚好没有从 B 上滑下来，则 A 滑到 B 最右端时和 B 速度相同，设为 v，得时间关系：tv0va1va2位移关系：Lv20v22a1 v22a2解得 v02 6 m/s。(2)木板 B 放在光滑水平面上，A 在 B 上向右匀减速运动，加速度大小仍为 a11g3 m/s2B 向右匀加速运动，加速度大小a21mgm 3 m/s2设 A、B 达到相同速度 v时 A 没有脱离 B，由时间关系v0va1va2解得 vv02 6 m/sA 的位移 xAv20v22a13 mB 的位移 xB v22a21 m由 xAxB2 m 可知 A 没有与 B 脱离，最终 A 和 B 的速度相等，大小为 6 m/s。答案(1)2 6 m/s(2)没有脱离 6 m/s 6 m/s
