1、椭圆及其性质一、选择题1(2019北京高考)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2 B3a24b2Ca2b D3a4bB由题意，得，则，4a24b2a2，即3a24b2故选B2已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A B(1，) C(1,2) DC由题意得解得1k2故选C3(2021四川绵阳高三三模)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为()A1 B1C1 D1B焦点F1，F2在
2、y轴上，可设椭圆标准方程为1(ab0)，由题意可得2a2b4ab，Sab8，即ab8，F2AB的周长为32，4a32，则a8，b，故椭圆方程为14(2021安徽安庆一中高三三模)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以F1F2为直径的圆过点P，且PF2F12PF1F2，则C的离心率为()A1 B1C D2B在F1PF2中，F1PF290，PF2F160，设|PF2|m，则2c|F1F2|2m，|PF1|m，又由椭圆定义可知2a|PF1|PF2|(1)m，则离心率e1，故选B5点P在焦点为F1(4,0)和F2(4,0)的椭圆上，若PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为()A
3、1 B1C1 D1C由题意，2c8，即c4， PF1F2面积的最大值为16，2cb16，即4b16，b4，a2b2c2161632则椭圆的标准方程为1故选C6如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月球飞行，设圆形轨道的半径为R，圆形轨道的半径为r，则下列结论中正确的序号为()轨道的焦距为Rr；若R不变，r越大，轨道的短轴长越小；轨道的长轴长为Rr；若r不变，R越大，轨道的离心率越大A BC DC由椭圆的性质知，acR，acr，解得2cRr
4、，故正确；由知a，c，所以2b222，若R不变，r越大，2b越大，轨道的短轴长越小错误；故错误；由知2aRr，故轨道的长轴长为Rr，故正确；因为e11，若r不变，R越大，则越小，所以e越大，轨道的离心率越大，故正确二、填空题7已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为 (5,0)圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标为(3,0)，c3又b4，a5椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(5,0)8(2021全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为 8根据椭圆的
5、对称性及|PQ|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形设|PF1|m，则|PF2|2a|PF1|8m，则|PF1|2|PF2|2m2(8m)22m26416m|F1F2|24c24(a2b2)48，得m(8m)8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|PF2|m(8m)89(2021河南开封高三模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，直线ykx与椭圆C交于A，B两点，|AF1|3|BF1|，且F1AF260，则椭圆C的离心率是 由椭圆的对称性，得|AF2|BF1|设|AF2|m，则|AF1|3m由椭圆的定义，知|AF1|
6、AF2|2a，即m3m2a，解得m，故|AF1|，|AF2|在AF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos F1AF2，即4c22，则e2，故e三、解答题10已知点P是圆F1：(x1)2y216上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点求点M的轨迹C的方程解由题意得F1(1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，且|MF2|MP|，从而|MF1|MF2|MF1|MP|PF1|4|F1F2|2，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，所以
7、点M的轨迹方程为111如图所示，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|，即bc所以ac，e(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由2，得解得x，y代入1，得1即1，解得a23所以椭圆方程为11(2021思南中学高三月考)已知椭圆1的焦点为F1，F2，椭圆上的动点P(x0，y0)在第一象限，且F1PF2为锐角，x0的取值范围为 由已知可得P在以O为圆心，半径为c
8、的圆的外部，c，所以该圆的方程为：x2y25，由消去y得5x29，解得x1，x2，又P在椭圆上，且由F1PF2为锐角，可知P不在x轴上，由于1的左、右顶点横坐标分别为3和3，为使F1PF2为锐角，x0的取值范围是，又动点P在第一象限，故答案为2已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是 设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，即0a2，2c2a23c2，e3椭圆C：1(ab0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为
9、坐标原点，F(3,0)为椭圆C的右焦点，求的取值范围解因为椭圆C的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2a2c4b，即ac2bF(3,0)为椭圆C的右焦点，所以c3在椭圆中，a2c2b2，所以，解方程组得所以椭圆方程为1设P(m，n)(0m5)，则1，则n216m2所以(m，n)(3m，n)3mm2n23mm2m23m16因为0m5，所以当m时，取得最大值为，当m趋近于0时，的值趋近于16所以的取值范围为1已知椭圆G：1(0b)的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|PB2|PF1|PF2|，当b变化时，给出下列三个命题：点P的轨迹关于y轴对
10、称；|OP|的最小值为2；存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，其中，所有正确命题的序号是 椭圆G：1(0b)的两个焦点分别为F1(，0)和F2(，0)，短轴的两个端点分别为B1(0，b)和B2(0，b)，设P(x，y)，点P在椭圆G上，且满足|PB1|PB2|PF1|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|PB2|2a22b，即有P在椭圆1上，对于，将x换为x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，故正确；对于，由图象可得，当P满足x2y2，即有6b2b2，即b时，|OP|取得最小值，可得x2y22时，即有|OP|2取得最小值为2，故正确；对于，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0b，则椭圆G上
11、满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P有2个，故不正确故答案为2(2019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解(1)连接PF1(图略)，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1由及a2b2c2得y2又由知y2，故b4由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4当b4，a4时，存在满足条件的点P所以b4，a的取值范围为4，)