1、第 2 讲 函 数 高考要点回扣 1映射 f：AB 的概念对于集合 A 中的任一元素，按照某种对应关系，在集合 B中都有唯一的元素与之对应如：设 Ax|x 是锐角，B(0,1)，从 A 到 B 的映射是“求正弦”，与 A 中元素 60相对应的 B 中的元素是_；与 B 中元素 22 相对应的 A 中的元素是_2函数的概念及三要素对函数的概念要注意把握两点：一个自变量只有唯一函数值，每个自变量都有函数值函数的三要素是指定义域、值域、对应法则研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则32453函数的奇偶性(1)定义奇函数：设函数 yf(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有 f(x)
2、f(x)，则这个函数叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称偶函数：设函数 yf(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有 f(x)f(x)，则这个函数叫做偶函数偶函数的图象关于 y 轴对称非奇非偶函数：若函数 f(x)有 f(x)f(x)且 f(x)f(x)，则称函数 f(x)为非奇非偶函数既是奇函数又是偶函数：若函数 f(x)满足 f(x)f(x)且f(x)f(x)，则称函数 f(x)既是奇函数又是偶函数特别提醒 在奇函数和偶函数的定义中，都要求 xD，xD，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称若奇函数 yf(x)在 x0 处有定义，则 f(0
3、)0.(2)函数奇偶性的性质奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数若 f(x)为偶函数，则 f(x)f(x)f(|x|)如函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数且 f(x)在(，0)上是减函数，又 f13 2，则不等式 f(x)2 的解集为_若奇函数 f(x)的定义域中含有 0，则必有 f(0)0.故“f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件如若 f(x)a2xa22x1为奇函数，则实数 a_.，13 13，1 4函数的单调性(1)确定函数单调性的方法有
4、：定义法、导数法、图象法注意多个单调区间的写法(2)复合函数的单调性：“同增异减”易错点是：忽视定义域如函数 ylog12(x22x)的单调递增区间是_5函数的图象(1)平移变换(左“加”右“减”，上“加”下“减”)(2)伸缩变换yf(x)01，缩yf(x)，yf(x)0A1，伸yAf(x)(1，2)(3)对称变换如：yf(x)x轴 yf(x)，yf(x)直线xayf(2ax)，yf(x)原点 yf(x)，yf(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象去掉y轴左边图象yf(|x|)，yf(x)保留x轴上方图象把x轴下方图象翻折上去 y|f(x)|.6二次函数二次函数的三种表示形式(1)一般
5、式：yax2bxc(a0)；(2)顶点式：ya(xm)2n(a0)，其中(m，n)为图象顶点；(3)两根式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中 x1，x2 为方程 f(x)ax2bxc0(a0)的两根，即为图象与 x 轴的两交点的横坐标7指数函数、对数函数(1)指数与对数运算性质指数对数性质amanamnamanamn，(am)namn(a0，a1)loga(MN)logaMlogaNloga(MN)logaMlogaNlogaMnnlogaM(a0，且 a1，M0，N0)对数性质：logaa1；loga10；0 和负数没有对数对数恒等式：alogaNN(N0)对数换底公式：logaNlo
6、gbNlogba.推论：logNnnmlogaN；logab 1logba.am(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数 yax 的图象恒过定点(0,1)，对数函数 ylogax 的图象恒过定点(1,0)8幂函数形如 yx(R)的函数为幂函数(1)若 1，则 yx，图象是直线(2)当 0 时，yx01(x0)图象是除(0,1)外的直线(3)当 01 时，在第一象限内，图象是上凹的(4)增减性：当 0 时，在区间(0，)上，函数 yx是增函数，当 0log 1，02x11，12x0，且 a1)当2a3b
7、4 时，函数 f(x)的零点 x0(n，n1)，nN*，则 n_.解析 2a3，f(x)logaxxb 为定义域上的单调函数f(2)loga22b，f(3)loga33b.2a3b，lg 2lg alg 3，lg 2lg 3lg 2lg a3，b3，2b1，loga22b0，即 f(2)0.1lg 3lg alg 3lg 2，3b4，13b0，f(3)0，即 f(2)f(3)0)，x23x(x0).作出该函数的图象，观察图象知递增区间为0，320，326函数 f(x)x24x6，x1,5)的值域为_解析 配方，得 f(x)x24x6(x2)22，由 x1,5)，对称轴是 x2，故当 x2 时，
8、函数取最小值为 f(2)2，f(x)1，若 f(x)2，则 x_.解析 当 x1 时，3x2，xlog32；当 x1 时，x2，x2(舍去)log328若 f(x)是偶函数，且当 x0，)时，f(x)x1，则不等式 f(x21)0 的解集为_解析 f(x)在0，)上是增函数，又 f(x)是偶函数，f(x21)f(|x21|)0，即|x21|1，1x211,0 x22，x(2，0)(0，2)(2，0)(0，2)9已知函数 f(x)ax21，x0(a2)eax，x0，函数 f(x)在两段上都是单调递增的，要想使函数在 R 上单调递增，只要(a2)e01，即 a1，与 a0 矛盾，此时无解；若2a0
9、，则函数在定义域的两段上都是单调递减的，要想使函数在 R 上单调递减，只要 a21，即 a1 即可，此时1a1 时，f(x)0.(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性；(3)若 f(3)1，解不等式 f(|x|)0，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0.(2)任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则x1x21，由于当 x1 时，f(x)0，所以 fx1x2 0，即 f(x1)f(x2)0，因此 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在区间(0，)上单调递减(3)由 fx1x2 f(x1)f(x2)知，f93 f(9)f(3)，而 f(3)1，所以 f(9)2.由于函数 f(x)在区间(0，)上是单调递减函数，f(|x|)9，x9 或 x9 或 x9返回