1、第 10 讲 概率与统计 高考要点回扣 1计数原理分类计数原理，重在分类，类与类之间具有独立性和并列性；分步计数原理，重在分步，步与步之间具有相依性和连续性，比较复杂的问题，常先分类再分步2排列与组合(1)排列数公式Amnn(n1)(n2)n(m1)n！(nm)！，其中 m，nN*，mn.当 mn 时，Annn(n1)21n！，规定 0！1.(2)组合数公式CmnAmnAmmn(n1)(n2)n(m1)m！n！m！(nm)！.(3)组合数性质CmnCnmn，CmnCm1nCmn1，规定 C0n1，其中 m，nN*，mn.(4)处理排列组合应用题的规律解排列组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先
2、选后排，先分类后分步常用策略：相邻问题“捆绑法”；不相邻问题“插空法”；定序问题“倍缩法”(某些元素顺序一定，应用乘法或除法处理)；多元素问题“分类法”；分排问题“单排法”；“小集团”排列问题先整体后局部；穷举法(将所有满足条件的排列逐一列举)；等价转换法(将陌生复杂问题转化为熟悉简单的问题)如将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有_种从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有_种3二项式定理(1)定理：(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCn1nabn1Cnnbn(nN*)通项(展开式的第 r1 项)：Tr1C
3、rnanrbr，其中 Crn(r0,1，n)叫做二项式系数(2)二项式系数的性质在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0nCnn，C1nCn1n，C2nCn2n，CrnCnrn.二项式系数的和等于 2n(组合总数公式)，即C0nC1nC2nCnn2n.35 70 二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即 C1nC3nC5nC0nC2nC4n2n1.特别提醒 二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错4随机事件的概率(1)随机事件的概率0P(A)1(若事件 A 为必然事件，则 P(A)1
4、，若事件 A为不可能事件，则 P(A)0)(2)古典概型P(A)mn(其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m为事件 A 在试验中包含的基本事件个数)5互斥事件有一个发生的概率P(AB)P(A)P(B)(1)公式适合范围：事件 A 与 B 互斥(2)P(A)1P(A)推广：若事件 A1，A2，An两两互斥，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)6相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)(1)公式适合范围：事件 A 与 B 独立(2)若事件 A1，A2，An相互独立，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)7独立重复试验如果事件 A 在一次试验中发生的概率是
5、 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)Cknpk(1p)nk.8几何概型一般地，在几何区域 D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域 d 内”为事件 A，则事件 A 发生的概率为 P(A)d的度量D的度量.此处 D 的度量不为 0，其中“度量”的意义依 D确定，当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等即 P(A)构成事件A的区域长度(面积和体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积和体积)9条件概率一般地，设 A、B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)P(AB)P(A)为在事件 A 发生的条件下，事件 B
6、发生的条件概率一般把 P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率10离散型随机变量的均值与方差(1)若 的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则均值 E()x1p1x2p2xnpn，方 差 V()(x1 E()2p1(x2 E()2p2 (xnE()2pn.若 B(n，p)，则 E()np，V()npq，这里 q1p.(2)标准差 V()，E(a()b)aE()b，V(ab)a2V()，求随机变量的概率分布、均值与方差关键是概率计算，首先应明确随机变量 的可能取值，然后计算出 取每一个值时的概率11随机抽样(1)简单随机抽样实现简单随机抽样，主要有两种方法：抽签法和随机数表法(2)系统
7、抽样采用随机的方法将总体中的个体编号确定分段间隔在第 1 段用简单随机抽样确定起始的个体编号按照事先确定的规则抽取样本(3)分层抽样当已知总体由差异明显的几部分组成时常用分层抽样12利用样本频率估计总体分布(1)当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取的样本不同数值及相应的频率表示，其几何表示就是相应的条形图(2)当总体中的个体取不同数值较多时，用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布13标准差和方差的关系计算标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式 s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2(2)简化计算公式()s21n(x21x22x2n)n x 2，或写成 s21
8、n(x21x22x2n)x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方(3)简化计算公式()s21n(x12x22xn2)x 2当一组数据中的数据较大时，可依照简化平均数的计算方法，将每个数同时减去一个与它们的平均数接近的常数 a，得到一组新数据 x1x1a，x2x2a，xnxna，即得上述公式如甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了 5 次，成绩如下表(单位：环)甲108999乙1010799如果甲、乙两人中只有 1 人入选，则入选的应是_甲精品回扣练习 1一个容量为 100 的样本，其数据的分组与各组的频数如下：组别(0，10(10，20(20，30(30，4
9、0(40，50(50，60(60，70频数1213241516137则样本数据落在(10,40上的频率为_解析(10,40包含(10,20，(20,30，(30,40三部分，共13241552(个)样本数据故数据落在(10,40上的频率为 521000.52.0.52 22011 年大运会在深圳举行，根据组委会的要求，在男子乒乓球比赛的颁奖仪式上需要三名志愿者，已知负责乒乓球部的志愿者共有男生 4 人，女生 3 人，若要求男、女志愿者各至少选一人，则不同的选法共有_种解析 根据题意，可分为以下 2 种情况：(1)男志愿者选 1人，则女志愿者选 2 个，不同的选法有 C14C23种；(2)男志愿
10、者选 2 人，女志愿者选 1 人，不同的选法有 C24C13种所以不同的选法共有 C13C24C23C14181230(种)30 3样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1，则样本方差为_解析 由样本平均值为 1，知15(a0123)1，故 a1.样本方差 s215(11)2(01)2(11)2(21)2(31)215(41014)2.2 4(2010全国)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为_解析 种子发芽率为 0.9，不发芽率为 0.1，每粒种子发
11、芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为，则 B(1 000，0.1)，E()1 0000.1100，故需补种的期望为 2E()200.200 5在一盒子里盛有若干个均匀的红球和白球，从中任取一个球，取到红球的概率为13；若从中任取两个球，取到的全是红球的概率为 111.则盒子里红球和白球的个数和为_解析 设盒子里有红球 x 个，有白球 y 个从中任取一个球，取到红球的概率为13，有 xxy13，得 y2x，则盒子里共有 3x 个球若从中任取两个球，取到的全是红球的概率为C2xC23x 111，解得 x4.盒子里一共有红球和白球为 12 个12 6(2011山东)若(x ax2)6展开式的常数项
12、为 60，则常数 a 的值为_解析(x ax2)6 展开式的通项为Tr1Cr6x6r(1)r(a)rx2rCr6x63r(1)r(a)r.令 63r0，得 r2.故 C26(a)260，解得 a4.4 7如图，天花板挂着三串小玻璃球，第一串挂着 2 个小球，第二串挂着 3 个小球，第三串挂着 4 个小球射击规则为：下面小球被击中后方可以射击上面的小球，若球 A 恰好在第五次射击中被击中，B 球恰好在第六次射击被击中，则这 9 个小球全部被击中的情形有(假设每次都击中)_种解析 先分析球 A 被第五次击中，球 B 被第六次击中的含义根据题意应该是前面四次射击击中了第一串中的一个小球，第二、三串中
13、 A，B 下方的三个小球，并且在第三串球 A 的下方的两个小球，应该是有先后顺序的，只能是从下向上顺序射击，所以四个小球的射击方法有12A44种方法然后，射击完 A，B 在每串上各有一个小球，共有 A33种射击方案，所以总共有12A44A3372(种)不同的情形答案 72 8已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮 4 次，至少命中3 次的概率是_解析 该人投篮 4 次，命中 3 次的概率为：P1C34343134 2764；该人投篮 4 次，命中 4 次的概率为：P2C44344 81256，故至少命中 3 次的概率是 P2764 81256189256.1892569某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：学生 1 号2 号3 号 4 号5 号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个 s2_.解析 由题意知：x 甲15(67787)7，x 乙15(67679)7，s2甲15(67)2(87)225，s2乙15(67)2(67)2(97)265.25280，故这种促销方案对商场不利返回