1、基础课时14 机械能守恒定律及其应用知识点一、重力做功与重力势能1重力做功的特点(1)重力做功与_无关，只与始、末位置的_有关。(2)重力做功不引起物体_的变化。知识梳理 路径高度差机械能2重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就_；重力对物体做负功，重力势能就_。(2)定量关系：重力对物体做的功_物体重力势能的_量。即WG(Ep2Ep1)Ep1Ep2_。(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取_。减小增大等于减小Ep无关3弹性势能(1)概念：物体由于发生_而具有的能。(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量_，劲度系数_，弹簧
2、的弹性势能越大。(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W_。弹性形变越大越大Ep知识点二、机械能守恒定律及应用1机械能：_和_统称为机械能，其中势能包括_和_。2机械能守恒定律(1)内容：在只有_做功的物体系统内，动能与势能会发生相互转化，但机械能的总量_。(2)表达式：mgh112mv21_。3守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。动能势能弹性势能重力势能重力或弹力保持不变mgh212mv22思考运动员抛出的铅球所受空气的阻力远小于其重力，请思考以下问题：(1)铅球在空中运动过程中，能否视为机械能守恒？(2)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的
3、速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？(3)在求解铅球落地的速度大小时，可以考虑应用什么规律？1(2015四川攀枝花二诊)篮球场上，运动员练习投篮，篮球划过一条漂亮的弧线落入篮筐，球的轨迹如图1中虚线所示。从篮球出手到落入篮筐的过程中，篮球的重力势能()A一直增大 B一直减小C先减小后增大 D先增大后减小诊断自测 图 1解析 从篮球出手到落入篮筐的过程中，篮球的重力不变，高度先增大后减小，则其重力势能先增大后减小，故D正确。答案 D2如图2所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的
4、过程中，下列说法正确的是()A弹簧的弹性势能逐渐减少B物体的机械能不变C弹簧的弹性势能先增加后减少D弹簧的弹性势能先减少后增加图 2解析 因弹簧左端固定在墙上，右端与物体连接，故撤去F后，弹簧先伸长到原长后，再被物体拉伸，其弹性势能先减少后增加，物体的机械能先增大后减小，故D正确，A、B、C均错误。答案 D3(多选)如图3所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()图 3A甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒B乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒C丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒D丁图中，小球沿水平面
5、做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒解析 甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，C正确；丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。答案 CD4如图4，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是()A2R B5R3 C.4R
6、3 D2R3图 4答案 C解析 设 A 球刚落地时两球速度大小为 v，根据机械能守恒定律得：2mgRmgR12(2mm)v2，解得 v223gR，B 球继续上升的高度 hv22gR3，B 球上升的最大高度为 hR43R。机械能守恒的判定方法(1)做功判断法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒。(2)能量转化判断法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒。考点一 机械能守恒的判断例 1 如图 5 所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁
7、静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是()A斜劈对小球的弹力不做功B斜劈与小球组成的系统机械能守恒C斜劈的机械能守恒D小球重力势能的减小量等于斜劈动能的增加量解析 小球的位移方向竖直向下，斜劈对小球的弹力对小球做负功，小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，斜劈的机械能增大，小球的机械能减少，但斜劈与小球组成的系统机械能守恒，小球重力势能的减少量，等于小球和斜劈动能增加量之和，故B正确，A、C、D错误。答案 B变式训练1(多选)如图6所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初
8、速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是()A小球的机械能守恒B小球的机械能减少C小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D小球与弹簧组成的系统机械能守恒图 6解析 小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能，等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。答案 BD1机械能守恒定律的表达式考点二 单个物体的机械能守恒2机械能守恒定律与动能定理的比较机械能守恒定
9、律动能定理不同点适用条件 只有重力或弹力做功没有条件限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功分析思路只需分析研究对象初、末状态的动能和势能不但要分析研究对象初、末状态的动能，还要分析所有外力所做的功研究对象 一般是物体组成的系统一般是一个物体(质点)书写方式有多种书写方式，一般常用等号两边都是动能与势能的和等号左边一定是合力的总功，右边是动能的变化相同点(1)思想方法相同：机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下状态的变化。(2)表达这两个规律的方程都是标量式图 7例2(2016广州二模)如图7所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧静止放于光滑斜面上，其一端
10、固定，另一端恰好与水平线AB平齐；长为L的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，将细绳拉至水平，此时小球在位置C。现由静止释放小球，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断，D点与AB相距h；之后小球在运动过程中恰好与弹簧接触并沿斜面方向压缩弹簧，弹簧的最大压缩量为x。试求：(1)细绳所能承受的最大拉力F；(2)斜面倾角的正切值；(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep。解析(1)小球由 C 运动到 D 的过程机械能守恒，则：mgL12mv21解得：v1 2gL在 D 点由牛顿第二定律得：Fmgmv21L解得：F3mg由牛顿第三定律知，细绳所能承受的最大拉力为 3mg(2)小球由 D 运动到
11、A 的过程做平抛运动，则：v2y2gh解得：vy 2gh tan vyv1hL(3)小球到达 A 点时，有：v2Av2yv212g(hL)小球在压缩弹簧的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，则：Epmgxsin 12mv2A解得：Epmg(xhhLhL)答案(1)3mg(2)hL(3)mg(xhhLhL)拓展延伸(1)在例2中，试分析小球由位置C到位置D的过程中，重力的功率如何变化？(2)在例2中，若撤去弹簧，试求当小球沿斜面下滑距离x时，小球的动能。解析(1)由 Pmgvcos 可知刚释放时 v0，P0，到最低点时，90，P0，故小球由位置 C 到位置 D 的过程中，重力的功率先增大后减
12、小。(2)全过程对小球由机械能守恒定律得mg(Lhxsin)Ek，解得Ekmg(xhhLhL)。答案(1)重力的功率先增大后减小(2)mg(xhhLhL)应用机械能守恒定律解题的一般步骤变式训练2(2015海南单科，14)如图 8 所示，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧 ab 和抛物线 bc 组成，圆弧半径 Oa水平，b 点为抛物线顶点。已知 h2 m，s 2 m。取重力加速度大小 g10 m/s2。(1)一小环套在轨道上从 a 点由静止滑下，当其在 bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从 b 点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达 c点时速度的水平分
13、量的大小。解析(1)一小环在 bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到 b 点时的速度水平，小环做平抛运动的轨迹与轨道 bc 重合，故有 svbth12gt2在 ab 滑落过程中，根据机械能守恒定律可得mgR12mv2b 联立三式可得 R s24h0.25 m(2)下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，根据机械能守恒定律可得 mgh12mv2c因为物体滑到 c 点时与竖直方向的夹角等于(1)问中做平抛运动过程中经过 c 点时速度与竖直方向的夹角相等，设为，则根据平抛运动规律可知 sin vbv2b2gh 根据运动的合成与分解可得 sin v水平vc 联立可得 v 水平2 103
14、 m/s。答案(1)0.25 m(2)2 103 m/s例3(多选)(2015新课标全国，21)如图9，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则()考点三 多物体的机械能守恒问题Aa 落地前，轻杆对 b 一直做正功Ba 落地时速度大小为 2ghCa 下落过程中，其加速度大小始终不大于 gDa 落地前，当 a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为 mg图 9解析 滑块 b 的初速度为零，末速度也为零，所以 b 的运动为先加速后减速，所以轻杆对 b 先做正功，后
15、做负功，选项 A 错误；以滑块 a、b 及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当 a 刚落地时，b 的速度为零，则 mgh12mv2a0，即 va 2gh，选项 B 正确；a、b 的先后受力如图所示。由a的受力图可知，a下落过程中，杆对a的作用效果为先推后拉，其加速度大小先小于g后大于g，选项C错误；当a落地前杆对a的推力减为零的时刻杆对b的作用力也为零，此时b的加速度为零，b的机械能最大，a的机械能最小，这时b受重力、支持力，且Nbmg，由牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，选项D正确。答案 BD1多物体机械能守恒问题的分析方法(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的
16、机械能是否守恒。(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。(3)列机械能守恒方程时，一般选用EkEp的形式。2多物体机械能守恒问题的三点注意(1)正确选取研究对象。(2)合理选取物理过程。(3)正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解。变式训练3质量分别为 m 和 2m 的两个小球 P 和 Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为 L，在离P 球L3处有一个光滑固定轴 O，如图 10 所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在 Q 球顺时针摆动到最低位置时，求：(1)小球 P 的速度大小；(2)在此过程中小球 P 机械能的变化量。解析(1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球 Q 摆到最低位置时 P 球的速度为 v，由于 P、Q 两球的角速度相等，Q 球运动半径是 P 球运动半径的两倍，故 Q 球的速度为 2v。由机械能守恒定律得2mg23Lmg13L12mv2122m(2v)2，解得 v 2gL3。(2)小球 P 机械能增加量Emg13L12mv249mgL答案(1)2gL3(2)增加了49mgL
