1、专题六 概率与统计 第 1 讲 排列与组合、二项式定理【高考真题感悟】(2011天津改编)在x2 2x6 的二项展开式中，x2 的系数为_解析 该二项展开式的通项为 Tr1Cr6x26r 2xr(1)rCr6 1262rx3r.令 3r2，得 r1.T26124x238x3.38考题分析 本小题考查了二项式定理、二项展开式的通项公式，二项展开式指定项系数的求法考题难度不大，突出对基础知识的考查对二项式定理的考查，通常是以考查基础知识为主的填空题形式出现易错提醒(1)错用二项展开式的通项公式(2)根式与指数式转化过程计算出错(3)易忽略系数的符号(1)r，可能致误主干知识梳理 1分类计数原理和分
2、步计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘2排列与组合(1)排列：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数公式 是 A mn n(n 1)(n 2)(n m 1)或 写 成 A mn n！(nm)！.(2)组合：从 n个不同元素中取出 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合从 n个不同元素中取出 m 个元素的组合数公
3、式是Cmnn(n1)(n2)(nm1)m！或写成 Cmnn！m！(nm)！.(3)组合数的性质CmnCnmn；Cmn1CmnCm1n.3二项式定理(1)定理：(ab)nC0nanb0C1nan1bC2nan2b2CrnanrbrCnna0bn(r0,1,2，n)(2)二项展开式的通项Tr1Crnanrbr，r0,1,2，n，其中 Crn叫做二项式系数(3)二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即 C0nCnn，C1nCn1n，CknCnkn，.最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当 n 为奇数时，中间的两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
4、各二项式系数的和aC0nC1nC2nCknCnn2n；bC0nC2nC2rn C1nC3nC2r1n122n2n1.2Cnn21Cnn21Cnn热点分类突破 题型一 排列与组合例 1 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？(3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？思维启迪(1)确定一个空盒将四个球放入 3 个盒内选2 个球放入一个盒内(2)与(1)的含义相同(3)4 个球放入 2 个盒子，可以平均放也可以不平均放解(1)为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转
5、化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外2 个盒子内，由分步计数原理，共有 C14C24C13A22144(种)(2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1 个球，也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有 144 种放法(3)确定 2 个空盒有 C24种方法4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有 C
6、34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C24C22A22 A22种方法故共有 C24(C34C11A22C24C22A22 A22)84(种)探究提高 对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即一般策略为先组合后排列分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准变式训练 1(1)一条长椅上有 9 个座位，3 个人坐，若相邻 2 人之间至少有 2 个空椅子，共有几种不同的坐法？(2)一条长椅上有 7 个座位，4 个人坐，要求 3 个空位中，恰有2 个空位相邻，共有多少种不同的坐法？解(1)先将 3 人(用表示)与 4
7、张空椅子(用表示)排列如图()，这时共占据了 7 张椅子，还有 2 张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示()，从 4 个空当中选 2 个插入，有 C24种插法；二是 2 张同时插入，有 C14种插法，再考虑 3 人可交换有 A33种方法所以，共有A33(C24C14)60(种)；(2)可先让 4 人坐在 4 个位置上，有 A44种排法，再让 2 个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)插入 4 个人形成的 5 个“空当”之间，有 A25种插法，所以所求的坐法数为 A44A25480.题型二 求二项展开式的通项、指定项例 2 设 f(x)(1x)m(1x)n展开式中 x
8、的系数是 19(m，nN*)(1)求 f(x)展开式中 x2的系数的最小值；(2)当 f(x)展开式中 x2的系数取最小值时，求 f(x)展开式中x7 的系数解 f(x)(1x)m(1x)n 展开式中的 x 的系数是 19.即 C1mC1n19，mn19.(1)f(x)展开式中 x2 的系数为：C2mC2nC219nC2n(19n)(18n)2n(n1)2n219n171n19223234.又nN*，当 n9 或 n10 时，C2mC2n的最小值为1223234 3244 81.x2的系数的最小值为 81.(2)由(1)知当 n9，m10 或 n10，m9 时，x2 的系数最小此时 x7的系数
9、为 C710C79C310C29156.探究提高 二项式定理是一个恒等式，求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或指定项问题，是二项式定理的常考问题，通常用通项公式来解决在应用通项公式时，要注意以下几点：(1)它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随之确定；(2)Tr1 是展开式中的第 r1 项，而不是第 r 项；(3)公式中 a，b 的指数和为 n 且 a，b 不能随便颠倒位置；(4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(5)对二项式(ab)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题变式训练 2(2010辽宁)(1xx2)(x1x)6的展开式中的常数项为_解析(1x
10、x2)(x1x)6(1xx2)C06x6(1x)0C16x5(1x)1C26x4(1x)2C36x3(1x)3C46x2(1x)4C56x(1x)5C66x0(1x)6(1xx2)(x66x415x22015x26x41x6)，所以常数项为 1(20)x215x25.5 题型三 二项式定理中的“赋值”问题例 3 若(12x)2 011a0a1xa2 011x2 011(xR)，则a12 a222a2 01122 011的值为_思维启迪 观察式子的特点，利用赋值法求解解析(12x)2 011a0a1xa2 011x2 011(xR)，令 x0，则 a01，令 x12，则12122 011a0a1
11、2 a222a2 01122 0110，其中 a01，所以a12 a222a2 01122 0111.1 探究提高 在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法变式训练 3(2011课标全国改编)(xax)(2x1x)5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为_解析 令 x1 得(1a)(21)51a2，所以 a1.因此(x1x)(2x1x)5 展开式中的常数项即为(2x1x)5 展开式中1x的系数与 x 的系数的和(2x1x)5 展开式的通项为 Tr1Cr5(2x)5r(1)rxrCr525rx52r(1)r.令 52r1，得 2r4，即
12、 r2，因此(2x1x)5 展开式中 x的系数为 C25252(1)280.令 52r1，得 2r6，即 r3，因此(2x1x)5 展开式中1x的系数为 C35253(1)340.所以(x1x)(2x1x)5 展开式中的常数项为 804040.40 规律方法总结 1排列、组合应用题的解题策略(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么(2)区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题也就是说排列问题与选取元
13、素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关(3)排列、组合综合应用问题的常见解法：特殊元素(特殊位置)优先安排法；合理分类与准确分步；排列、组合混合问题先选后排法；相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；定序问题倍缩法；多排问题一排法；“小集团”问题先整体后局部法；构造模型法；正难则反、等价转化法2二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)Crnanrbr是第 r
14、1 项，而不是第 r 项；(2)运用通项公式 Tr1Crnanrbr 解题，一般都需先转化为方程(组)求出 n、r，然后代入通项公式求解(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出 r，再求出所需的某项；有时需先求 n，计算时要注意 n 和 r 的取值范围及它们之间的大小关系名师押题我来做 1.把 3 盆不同的兰花和 4 盆不同的玫瑰花摆放在右图图案中的 1,2,3,4,5,6,7 所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为_种(用数字回答)押题依据 排列与组合是解决概率问题的工具，在高考试卷中一般含有一道专门考查排列与组合的小题，也可在概率和随机变量分布中考查单独考查，难度不大押题级别 解析 A77C15A33A444 320.4 320 2已知(x 33 x)n 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则(1x)n 的展开式中系数最小的项是第_项押题依据 二项展开式的通项公式的运用及二项式系数性质的运用等是高考的热点内容二项式定理在高考中可单独命题，主要以填空题的形式出现，属于中低档难度的题目押题级别 解析 原式的展开式中，各项系数的和为 4n，各项二项式系数的和为 2n.由已知，得4n2n64，所以 n6.(1x)6 的展开式中，第 4 项的系数最小，为C3620.答案为 4.4 返回