1、第 2 讲 数列求和及数列的综合应用【高考真题感悟】(2011课标全国)等比数列an的各项均为正数，且 2a13a21，a239a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog3a1log3a2log3an，求数列1bn 的前 n项和解(1)设数列an的公比为 q.由 a239a2a6 得 a239a24，所以 q219.由条件可知 q0，故 q13.由 2a13a21，得 2a13a1q1，所以 a113.故数列an的通项公式为 an 13n.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n)n(n1)2.故 1bn2n(n1)21n 1n1，1b1 1b2 1bn2112
2、1213 1n 1n1 2nn1.所以数列1bn 的前 n 项和为 2nn1.考题分析 本题主要考查了等比数列的基本量的计算、通项公式和前 n 项和的求法考查了用裂项法求前 n 项和的基本方法体现了对逻辑思维能力和运算求解能力的考查易错提醒(1)不能准确选择基本量，列方程求解(2)bn 计算不准确，易忽略负号(3)所求的是1bn 的前 n 项和而非bn的前 n项和主干知识梳理 1等差、等比数列的求和公式(1)等差数列前 n 项和公式：Snna1n(n1)2dn(a1an)2.(2)等比数列前 n 项和公式：q1 时，Snna1；q1 时，Sna1(1qn)1q.2数列求和的方法技巧(1)转化法
3、有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并(2)错位相减法这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和3数列的应用题(1)应用问
4、题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公式或前 n 项和公式热点分类突破 题型一 错位相减法求数列的前 n 项和例 1 已知当 x5 时，二次函数 f(x)ax2bx 取得最小值，等差数列an的前 n 项和 Snf(n)，a27.(1)求数列an的通项公式；(2)数列b
5、n的前 n 项和为 Tn，且 bnan2n，求 Tn.思维启迪(1)由对称轴得 b2a5，由 anSnSn1 求 an.(2)用错位相减法求 Tn.解(1)由题意得：b2a5，当 n2 时，anSnSn1an2bna(n1)2b(n1)2anba2an11a.a27，得 a1.a1S19，an2n11.(2)bn2n112n，Tn92 722 2n112n，12Tn922 2n132n2n112n1，得12Tn92 222 22n2n112n19212(1 12n1)1122n112n1 72 12n12n112n1.Tn72n72n.探究提高 错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法在应
6、用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题变式训练 1 已知数列an的前 n 项和 Sn满足条件 2Sn3(an1)，其中 nN*.(1)求证：数列an成等比数列；(2)设数列bn满足 bnlog3an.若 cnanbn，求数列cn的前n 项和(1)证明 由题意，得当 n2 时，anSnSn132(anan1)所以 an3an1，故有 anan13.又当 n1 时，S132(a11)a1，解得 a13，所以，数列an为首项是 3，公比是 3 的等比数列(2)解 由(1)，得 an3n，则 bnlog3anlog33nn.故有
7、 cnanbnn3n.设 Tn131232333(n1)3n1n3n，则 3Tn132233334(n1)3nn3n1.得，2Tn(3132333n)n3n13(13n)13 n3n1，所以 Tn(2n1)3n134.题型二 裂项相消法求数列的前 n 项和例 2 已知数列an的前 n 项和为 Sn，点n，Snn 在直线 y12x112 上数列bn满足 bn22bn1bn0(nN*)，且 b311，前 9 项和为 153.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设 cn3(2an11)(2bn1)，求数列cn的前 n 项和 Tn.解(1)由题意，得Snn 12n112，即 Sn12n2112 n
8、.故当 n2 时，有 anSnSn112n2112 n 12(n1)2112(n1)n5.当 n1 时，a1S16，且 n56，所以 ann5(nN*)又由题意知 bn22bn1bn0，即 bn2bn1bn1bn(nN*)，所以bn为等差数列，于是9(b1b9)29(b3b7)2153.由 b311，得 b723，d231173 3，因此 bnb33(n3)3n2，即 bn3n2(nN*)(2)cn3(2an11)(2bn1)32(n5)112(3n2)11(2n1)(2n1)1212n112n1.所以 Tnc1c2cn12113 1315 1517 12n112n1 12112n1 n2n1
9、.探究提高(1)求数列的通项要注意根据条件灵活选用不同方法例求 bn 时，利用定义就是不错的选择(2)本题的关键是求cn的前 n 项和对 cn 裂项是求和的基本技巧变式训练 2 已知二次函数 yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为 f(x)6x2，数列an的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数 yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn3anan1，Tn是数列bn的前 n 项和，求使得 Tnm20对所有 n(nN*)都成立的最小正整数 m.解(1)设函数 f(x)ax2bx(a0)，则 f(x)2axb，由 f(x)6x2，得 a3，b2，所以 f(x)3
10、x22x.又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数 yf(x)的图象上，所以 Sn3n22n.当 n2 时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5.当 n1 时，a1S13122615，所以，an6n5(nN*)(2)由(1)，知 bn3anan13(6n5)6(n1)51216n516n1，故 Tnb1b2bn12117 17 113 16n516n1 12116n1.因此，要使12116n1 m20(nN*)成立，则 m 需满足12m20即可，则 m10，所以满足要求的最小正整数 m 为 10.题型三 数列与不等式的综合问题例 3已知 Sn是数列an的前 n 项和，点(n，
11、Sn)在函数 f(x)12x232x 的图象上(1)求数列an的通项；(2)若 cn anan1an1an，求证：2nc1c2cn2n1n2n2n12，所以 c1c2cn2n.又因为 cnn1n2n2n12 1n1 1n2.故 c1c2cn2n(1213)(1314)(1n11n2)2n12 1n22n12.所以 2nc1c2cn2n12成立探究提高 数列与不等式综合是常见题型，常见的证明不等式的方法有：作差法；作商法；综合法；分析法；放缩法变式训练 3 已知数列an，Sn是其前 n 项的和，且 an7Sn11(n2)，a11.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn1log2an(n2)，
12、Tnbn1bn2b2n，求出最小的正整数 k，使得对于任意的正整数 n，有 Tn k12恒成立解(1)由题意知 an7Sn11，可得 an17Sn1，得 an1an7(SnSn1)7an，即 an18an(n2)又由于 a110，可得 a27118，所以数列an是一个以 1 为首项，8 为公比的等比数列所以 an8n123(n1)(2)由(1)得 bn1log2an1log223(n1)13(n1)，所以 Tnbn1bn2b2n 13n13(n1)13(2n1)，Tn1bn2bn3b2(n1)13(n1)13(n2)13(2n1)13(2n)13(2n1)，所以 Tn1Tn13(2n)13(2
13、n1)13n13(2n1)16n16n(2n1).因为 nN*，n1，故 Tn1Tn0，Tn1Tn，即数列Tn是一个单调递减数列又因为 T1b213，所以 TnT113，若 Tn k12恒成立，则134，由于 k 是正整数，故最小正整数 k 为 5.规律方法总结 1数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为 n 个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于anbn的前 n 项和，其中an是等差数列，bn是等比数列；(3)裂项法：求an的前 n 项和时，若能将 an 拆分为 anbnbn1，则 a1a2anb1bn1；(4)倒序相加法：一个数列倒过来与
14、原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法其主要用于求组合数列的和这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对 S1，S2，S3，的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出 Sn，然后用数学归纳法给出证明易错点：对于 Sn不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例如对于数列an：a11，a23，a32，an2an1an，可证其满足 an6an，在求和时，依次 6 项求和，再求 Sn.2复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式注意函数与方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用名师押题我来做 1若
15、数列an的前 n 项和为 Sn，已知 an5Sn3(nN*)，则数列4nan9 的前 2 011 项的和为_押题依据 数列的通项和数列的前n 项和是高考的热点本题由 Sn 与 an 的关系求 an，进而求数列4nan9 的前 n 项和，恰好体现了数列的重点故押此题押题级别 解析 当 n1 时，a15a13，a134；当 n2 时，anan15an，即 an14an1，an34(14)n1(1)n134n，4nan9(1)n113，故4nan9 的前 2 011 项的和为13.答案 132设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，Snnan2n(n1)(nN*)(1)求证：数列an为等差数
16、列，并分别写出 an和 Sn 关于 n的表达式；(2)设数列1anan1的前 n 项和为 Tn.求证：15Tn14.押题依据 判断数列是否为等差或等比数列及求通项和前 n 项和的问题是高考的重点和热点数列与不等式综合考查也是高考的一个重要方向，本题能较好地体现高考对数列考查的重点和热点故押此题押题级别 证明(1)当 n2 时，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，anan14，数列an是以 1 为首项，4 为公差的等差数列an4n3，Sn12n(a1an)2n2n.(2)Tn 1a1a2 1a2a31anan1 115 15919131(4n3)(4n1)14(115)(1519)(19 113)(14n314n1)14(114n1)14.又 Tn 为单调递增的，故 TnT115，15Tn14.返回