1、2.3.2平面向量的坐标运算第1课时平面向量的坐标运算学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.掌握向量的坐标表示(重点)2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点)3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易混点)通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)思考1：如图，向量i，j是两个互相
2、垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30，且|a|4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?提示a2i2j.思考2：在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a(1,1)，则向量a的位置确定了吗？提示对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定对于向量a，给定a的坐标为a(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关二、平面向量的坐标运算1已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)2已知A(x1
3、，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标思考3：设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i、j表示？提示ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.1思考辨析(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2
4、，y1y2)()答案(1)(2)(3)2若A(2，1)，B(1,3)，则的坐标是()A(1,2)B(1，2)C(3,4) D(3，4)答案C3若a(1,2)，b(3,4)，则ab_；ab_；3a_；5b_.(2,6)(4，2)(3,6)(15，20)ab(2,6)，ab(4，2)，3a(3,6)，5b(15，20)平面向量的坐标表示【例1】在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|4，|b|3，且AOx45，OAB105，分别求向量a，b的坐标思路点拨：借助三角函数的定义求a，b的坐标解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45，所以a1|a|cos
5、4542，a2|a|sin 4542.可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120，所以b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203.故a(2，2)，b.求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.1在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|2，|b|3，|c|4，分别求它们的坐标解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos 452，a2|a|sin 452；b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203；c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42.因此a(，
6、)，b，c(2，2)平面向量的坐标运算【例2】已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1，8)，求，2.思路点拨：直接利用平面向量的坐标运算求解解A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，(3，1)，(3,2)，(0,1)，2(6，2).平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N的坐标和的坐标解因为A(2,4)，B(3，1)，C(3
7、，4)，所以(1,8)，(6,3)设M(x，y)，则(x3，y4)由3得(x3，y4)3(1,8)，即解得即M(0,20)同理可得N(9,2)，所以(9，18)向量的坐标与点的坐标探究问题1点的坐标与向量的坐标有何区别？提示：(1)向量a(x，y)中间用等号连结，而点的坐标A(x，y)中间没有等号(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)2向量与其终点坐标是一一对应关系吗？提示：不是一一对应关系，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标是一
8、一对应关系【例3】已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，试问：(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值若不能，说明理由思路点拨：(1)由已知点的坐标表示出向量，的坐标，从而知道的坐标，即点P的坐标，然后分类讨论即可(2)若四边形OABP为平行四边形，则.解(1)(3,3)，t(13t,23t)，则P(13t,23t)若P在x轴上，则23t0，所以t；若P在y轴上，则13t0，所以t.(2)因为(1,2)，(33t,33t)，若OABP是平行四边形，则，所以此方程组无解；故四边形OABP不可能是平行四边形1(变条件)若
9、P在第三象限，求t的取值范围解由本例解知，若P在第三象限，则解得t，所以t的取值范围为.2(变条件)t为何值时，P在函数yx的图象上？解由P点坐标(13t,23t)在yx上，得23t13t，解得t.即t时，P在yx的图象上已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)，求解即可.提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.教师独具1本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算2本节课要重点掌握以下问题(1)向量的
10、坐标表示(2)向量的坐标运算.1下列说法正确的是()向量的坐标即此向量终点的坐标；位置不同的向量其坐标可能相同；一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标；相等的向量坐标一定相同ABCDB向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同故正确的说法是.2若a(2,1)，b(1,0)，则3a2b的坐标是_(8,3)3a2b3(2,1)2(1,0)(6,3)(2,0)(8,3)3已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是_(5，1)(3，2)(8,1)，.4已知点A(1,2)，B(2,8)及，求点C，D及的坐标解设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)，(x11，y12)(3,6)(1,2)，(1x2,2y2)(3，6)(1,2)，则有和解得和C，D的坐标分别为(0,4)和(2,0)因此(2，4)