1、2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义(重点)2掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算(重点、易错点)3了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性(难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养一、向量的加法1向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法2向量加法的运算法则(1)三角形法则：如图，已知向量a和b，在平面内任取一点O，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作ab，即ab.(2)平行四边
2、形法则：如图，已知两个不共线的非零向量a，b，作a，b，以OA，OC为邻边作OABC，则以O为起点的对角线上的向量ab，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则二、向量加法的运算律(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)(3)a00aa.(4)a(a)(a)a0.1思考辨析(1)两个向量相加就是两个向量的模相加()(2)两个向量相加，结果有可能是个数量()(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加()解析(1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向量相加答案(1)(2)(3)2(
3、)()等于_()().3._.00.向量加法的三角形法则和平行四边形法则【例1】如图，已知向量a，b，c，求作和向量abc.思路点拨：根据三角形法则或平行四边形法则求解解法一：可先作ac，再作(ac)b，即为abc(用到向量加法运算律)如图，首先在平面内任取一点O，作向量a，接着作向量c，则得向量ac，然后作向量b，则向量abc为所求法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作如图，(1)在平面内任取一点O，作a，b；(2)作平行四边形AOBC，则ab；(3)再作向量c；(4)作CODE，则cabc.则即为所求向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：区别：(1)三角形法则中强调“首尾相
4、接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.1如图所示，求作向量和(1)(2)(3)解如图中，所示，图图图首先作a，然后作b，则ab.如图所示，作a，b，则ab，再作c，则(ab)c，即abc.向量的加法运算【例2】(1)在正六边形ABCDEF中，a，b，则_，_，_.(2)_.思路点拨：(1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解(2)由向量加法的三角形法则求解(
5、1)2ab2a2ba2b(2)0(1)如图，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形根据向量的平行四边形法则，有ab.在平行四边形ABCO中，aab2ab.22a2b.而ab，由三角形法则得：baba2b.(2)0.1解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.2运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)；(2).解(1).(2)
6、0.向量加法在实际问题中的应用探究问题1速度、位移等物理量是向量吗？为什么？提示：是向量因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素2利用向量加法解决实际问题的关键是什么？提示：关键是把实际问题向量模型化，并借助向量加法知识解决实际问题【例3】已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问：(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)思路点拨：(1)结合向量共线知识求解；(2)借助三角形的边角关系求解解(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/
7、h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船是静止的(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度设MCMA，|10，CMN30.，四边形MANB为菱形则AMN60，AMN为等边三角形在MNB中，|10，BMN60，而CMN30，CMB30，所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30.解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题转化为数学问题正确画出示意图用向量表示实际量向量运算回扣实际问题作出解答.3在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院，求
8、这架飞机飞行的路程及两次位移的和解如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km，从B地按南偏东55的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是|；两次飞行的位移的和指的是.依题意，有|8008001 600(km)又35，55，ABC355590.所以|800(km)其中BAC45，所以方向为北偏东354580.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80.教师独具1本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用2要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和(2)向量加法运算(3)向量加法的应用3求作向量和时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点1如图所示，在平行四边形ABCD中，()；.ABC DA四边形ABCD为平行四边形，.2在ABC中，a，b，则ab_.ab.3在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD是_矩形由图知|.又|，|.四边形ABCD为矩形4化简：(1)；(2).解(1)().(2)()().