1、第23讲 分类与整合思想和化归与转化思想 第23讲 分类与整合思想和 化归与转化思想 主干知识整合第23讲 主干知识整合 1分类与整合思想在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合分合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想2化归与转化思想在解决一个问题时人们
2、的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的，这种解决问题的思想就是化归与转化思想.要点热点探究第23讲 要点热点探究 探究点一 分类与整合思想例 1 已知函数 f(x)|x|x1|x2|.(1)写出函数的单调区间；(2)设 g(x)x2bx，若对任意的 x1，x21,4，f(x1)g(x2)恒成立，求实数 b 的取值范围第23讲 要点热点探究【分析】(1)根据绝对值的概念，通过把实数集分割为四个子集，在各个子集上，函数解析式就可以去掉绝对值符号，转化为一般的一次函数，通过研究各个段上的函数单调性，把其整合为整个
3、函数的单调性；(2)问题等价于在区间1,4上，函数 f(x)的最小值大于或者等于函数 g(x)的最大值，根据函数g(x)的对称轴和单调性分类求解 g(x)的最大值，通过最值的不等式，得出各个情况的结果，最后整合为一个整体结论第23讲 要点热点探究【解答】(1)函数 f(x)3x3，x0，x3，0 x1，x1，12.由于这个函数的图象是连续不断的，在(，0和(0,1上，函数是单调递减的，在(1,2，(2，)上，函数是单调递增的，在 x1 处图象连续所以函数 f(x)的单调递减区间是(，1，单调递增区间是1，)第23讲 要点热点探究(2)由(1)知，函数 f(x)在区间1,4上的 x1 处取得最小
4、值，即f(x)minf(1)2.当b21，即 b2 时，函数 g(x)在1,4上单调递减，其最大值为 g(1)1b.由 21b 得 b3.故此时3b2；当1b24，即2b8 时，函数 g(x)在 xb2处取得最大值，其最大值为 gb2 b24.由 2b24 得2 2b2 2.故此时2b2 2；当b24，即 b8 时，函数 g(x)在1,4上单调递增，其最大值为 g(4)164b.由 2164b，得 b92.故此时 b 无解综上所述，b 的取值范围是3,2 2.第23讲 要点热点探究 例 2 已知函数 f(x)lnxax1ax(0a1)，讨论函数 f(x)的单调性【分析】求出导数后，讨论函数 f
5、(x)的导数的符号即可第23讲 要点热点探究【解答】f(x)1xaa1x2 ax2x1ax2，x(0，)由 f(x)0，即 ax2x1a0，解得 x11，x21a1.(1)若 0ax1.当 0 x1a1 时，f(x)0；当 1x0.故此时函数 f(x)的单调递减区间是(0,1)，1a1，单调递增区间是1，1a1.(2)若 a12时，x1x2，此时 f(x)0 恒成立，且仅在 x12处等于零，故此时函数 f(x)在(0，)上单调递减；(3)若12a1，则 0 x2x1.当 0 x1 时，f(x)0；当1a1x0.故此时函数 f(x)的单调递减区间是0，1a1，(1，)，单调递增区间是1a1，1.
6、第23讲 要点热点探究 综上所述：当 0a12时，函数 f(x)的单调递减区间是(0,1)，1a1，单调递增区间是1，1a1；当 a12时，函数 f(x)的单调递减区间是(0，)；当12a1，函数 f(x)的单调递减区间是0，1a1，(1，)，单调递增区间是1a1，1.第23讲 要点热点探究 探究点二 化归与转化思想例 3(1)已知函数 f(x)x32x2ax1.若函数 g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，则实数 a 的取值范围是_(2)若抛物线 yx24ax34a，yx2(a1)xa2，yx22ax2a 中至少有一条与 x 轴相交，则实数 a 的取值范围是_【分析】(1)很显然，函数
7、 g(x)是二次函数，二次函数在一个开区间上存在零点，情况是很复杂的，但这个二次函数可以把参数分离出来，这样就把问题转化为求一个具体的函数的值域；(2)至少有一条与 x 轴相交情况，包括七种情况，直接求解比较困难，从其反面考虑第23讲 要点热点探究(1)43，7 (2)，32 1，)【解析】(1)g(x)f(x)3x24xa，g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，等价于 3x24xa 在区间(1,1)上有解，等价于 a 的取值范围是函数 y3x24x 在区间(1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是43，7.故所求的 a 的取值范围是43，7.(2)由14a2434a0，2a124a2
8、0，32a28a0，解得32a0，当 x 足够小时一定有 f(x)0，结合函数的单调性和极值，函数 yf(x)与 x 轴只有一个公共点的充要条件是极大值小于零或极小值大于零，即 527a0，即a1.所以当 a，527(1，)时，函数 yf(x)的图象与 x 轴仅有一个交点第23讲 要点热点探究 【点评】本题第一问是研究函数性质，但必须通过解导数等于零的方程，根据方程的根确定函数的极值点，研究函数要考解方程；第二问是研究方程的根，要借助于函数的性质，对方程根的情况作出判断，方程的研究要借助函数本题表明函数与方程是相辅相成的第23讲 要点热点探究 设 x，y 满足约束条件x0，yx，4x3y12，
9、则x2y3x1的取值范围是()A1,5 B2,6C3,10 D3,11 第23讲 要点热点探究 D【解析】目标的几何意义不明显，可以变换为 12y1x1，其中y1x1的几何意义是明确的，即区域内的点与点(1，1)连线的斜率变换求解目标为12y1x1，令 zy1x1，其几何意义是区域x0，yx，4x3y12内的点到点 M(1，1)连线的斜率如图，显然 z 的值满足 kMAzkMB，kMA1，kMB5，故1z5，所以 3x2y3x111.第23讲 要点热点探究 nN，n1.求证：113 115 112n1 2n12.【解答】证明：问题等价于证明113 115 112n12n112，构造函数 f(n
10、)113 115 112n12n1，通过函数的单调性解决问题设 f(n)113115112n12n1(n2)，则第23讲 要点热点探究 fn1fn 113115 112n12n112n1113115 112n12n14n121 2n14n121，即 f(n1)f(n)，即函数 f(n)单调递增，所以 f(n)f(2)f(2)4351645166412，故 f(n)12，所以113 115 112n1 2n12.第23讲 规律技巧提炼 1分类讨论的几种情况(1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中的概念有些就是分类的，如绝对值的概念、直线的斜率的概念等，如果试题中涉及这些概念，就要进
11、行分类讨论；(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数学定理和公式是分类的，不同的情况公式的形式，如数列的通项与前 n 项和的关系，等比数列的求和公式等，试题中涉及这些时，就需要分类讨论；(3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不同，这就要把参数划分为几个部分进行分类解决；(4)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要分情况解决，如概率计算中要根据要求，分类求出基本事件的个数，这种情况下也需要分类讨论规律技巧提炼第23讲 规律技巧提炼 2化归转化思想的几种情况(1)化为已知：当所要解决的问题和我们已经掌握的问题
12、有关系时，把所要解决的问题化为已知问题，是化归的基本形式之一；(2)化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要有把这个问题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容易的问题，这是化难为易的一个方面；当我们所面临的问题正面解决较为困难时，从其反面考虑，也是化难为易的一个方面；(3)化繁为简：在一些问题中，已知条件或求解结论比较繁，这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况，再解决问题，有时把问题中的某个部分看做一个整体，进行换元，这种方法也是化繁为简的转化思想的体现；(4)化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个问题
13、组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决，这就是化大为小第23讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：一些数学定理和公式是分类的，不同的情况公式的形式，如数列的通项与前 n 项和的关系，等比数列的求和公式等，试题中涉及这些时，就需要分类讨论例 1 是由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论，可以和要点热点探究中的例题配合使用；在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决，这就是化大为小，例 2 的目的就是如此第2
14、3讲 教师备用例题 例 1 已知数列an的前 n 项和 Snn21，数列bn是首项为 1，公比为 b 的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列anbn的前 n 项和 Tn.【分析】(1)根据数列的通项和前 n 项和的关系，分类求解；(2)等比数列的公比为 b，这里的 b 可能为 1，要分情况处理，同时要根据第一问的结果确定求和的方法，根据经验，数列an从第二项起成等差数列，这样一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列，可以使用错位相减的方法求和第23讲 教师备用例题【解答】(1)当 n1 时，a1S12；当 n2 时，anSnSn1n21(n1)212n1.所以 an2，n1，
15、2n1，n2.(2)当 b1 时，anbn2，n1，2n1，n2.此时 Tn235(2n1)n21；第23讲 教师备用例题 当 b1 时，anbn2，n1，2n1bn1，n2.此时 Tn23b5b2(2n1)bn1，两端同时乘以 b 得，bTn2b3b25b3(2n1)bn.得，(1b)Tn2b2b22b32bn1(2n1)bn2(1bb2b3bn1)(2n1)bnb21bn1b(2n1)bnb，所以 Tn21bn1b2 2n1bn1bb1b.所以 Tnn21，b1，21bn1b2 2n1bn1b b1b，b1.第23讲 教师备用例题 例 2 已知 f(x)是二次函数，f(x)是它的导函数，且
16、对任意的 xR，f(x)f(x1)x2 恒成立若 t0，曲线 C：yf(x)在点 P(t，f(t)处的切线为 l，l 与坐标轴围成的三角形面积为 S(t)求 S(t)的最小值【分析】本题首先要求出函数 f(x)的解析式，其次要求出函数在点 P 处的切线 l 的方程，第三要求出切线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S(t)，第四要求出 S(t)的最小值第23讲 教师备用例题【解答】设 f(x)ax2bxc(其中 a0)，则 f(x)2axb，f(x1)a(x1)2b(x1)cax2(2ab)xabc.由已知，得 2axb(a1)x2(2ab)xabc，a10，2ab2a，abcb，解之得a1，b0，c1，f(x)x21.所以 P(t,1t2)，切线 l 的斜率 kf(t)2t，切线 l 的方程为 y(1t2)2t(xt)，即 y2txt21.第23讲 教师备用例题 从而 l 与 x 轴的交点为 At212t，0，l 与 y 轴的交点为B(0，t21)，S(t)t2124t(其中 t0)S(t)t21 3t1 3t14t2.当 0t 33 时，S(t)33 时，S(t)0，S(t)是增函数，S(t)minS33 4 39.