1、1.1.2弧度制学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.了解弧度制.2.会进行弧度与角度的互化(重点、难点)3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式(难点、易错点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.一、弧度制的概念1角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制2弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？提示“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关二、角度制与弧度制的换算1角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度
2、3602 rad2 rad360180 rad rad1801rad0.017 45 rad1 rad度57.302.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0130456090弧度0角度120135150180270360弧度23.任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？提示利用1弧度和1弧度进行弧度与角度的换算三、扇形的弧长公式及面积公式1弧度制下的弧长公式：如图，l是圆心角所对的弧长，r是半径，则圆心角的弧度数的绝对值是|，弧长l|r.特别地，当r1时，弧长l|.2扇形面积公式：在弧度制中，若|2，则半
3、径为r，圆心角为的扇形的面积为Sr2lr.1思考辨析(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度()答案(1)(2)(3)2将下列弧度与角度互换(1)_；(2)2_；(3)72_；(4)300_.(1)40(2)(3) rad(4) rad(1) rad18040.(2)2 rad2.(3)7272 rad rad.(4)300300 rad rad.3半径为1，圆心角为的扇形的弧长为_，面积为_，r1，弧长lr，面积lr1.角度制与弧度制的互化【例1】把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)450；(2)；(3
4、)；(4)11230.思路点拨：利用“180”实现角度与弧度的互化解(1)450450 rad rad；(2) rad18；(3) rad240；(4)11230112.5112.5 rad rad.角度制与弧度制换算的要点：提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度1将下列角度与弧度进行互化(1)20；(2)15；(3)；(4).解(1)20 rad rad.(2)15 rad rad.(3) rad180105.(4) rad180396.用弧度制表示角的集合【例2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)思路点拨：先
5、写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合解用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1).(2).(3).表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“2k(kZ)”中，必须是用弧度制表示的角，在“k360(kZ)”中，必须是用角度制表示的角.提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.2如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界) 解(1)如题图，以OA为终边的角为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ)，所以阴影部分内的角的集合为.(2)如题图，以OA为终边的角为2k(k
6、Z)；以OB为终边的角为2k(kZ)不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1，M2.所以阴影部分内的角的集合为M1M2.扇形的弧长及面积问题探究问题1公式l|r中，“”可以为角度制角吗？提示：公式l|r中，“”必须为弧度制角2在扇形的弧长l，半径r，圆心角，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明提示：已知任意两个量可求其余两个量，如已知，r，可利用l|r，求l，进而求Slr；又如已知S，可利用S|r2，求r，进而求l|r.【例3】一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？思路点拨：解设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l
7、，则lr，依题意l2r20，即r2r20，.由l202r0及r0得0r10，S扇形r2r2(10r)r(r5)225(0r10)当r5时，扇形面积最大为S25.此时l10，2，故当扇形半径r5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大1(变条件)本例条件变为“扇形圆心角是72，半径等于20 cm”，求扇形的面积解设扇形弧长为l，因为7272(rad)，所以lr208(cm)，所以Slr82080(cm2)2(变结论)本例变为“扇形周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数”请解答解设扇形圆心角的弧度数为(02 rad(舍去)当r4时，l2(cm)，此时， rad.灵活运用扇形弧长公式、
8、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.提醒：(1)在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.(2)看清角的度量制，选用相应的公式.(3)扇形的周长等于弧长加两个半径长.教师独具1本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解2本节要牢记弧度制与角度制的转化公式(1)180；(2)1 rad(3)1 rad.3本节课要重点掌握以下规律方法(1)弧度制的概念辨析；(2)角度与弧度的换算；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用4本节课的易错点
9、表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用1将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：(1)_；(2)_；(3)920_；(4)72_.(1)24(2)216(3) rad(4) rad(1) rad18024.(2) rad180216.(3)920920 rad rad.(4)7272 rad rad.2若扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_2设扇形所在圆的半径为r cm，扇形弧长为l cm.由题意得解得所以2.因此扇形的圆心角的弧度数是2.3用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_若角的终边落在x轴的上方，则2k2k，kZ.4设1570，2750，1，2.(1)将1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将1，2用角度制表示出来，并在720，0)范围内找出与它们终边相同的所有角解(1)180 rad，157057022，275075022.1的终边在第二象限，2的终边在第一象限(2)1108，设108k360(kZ)，则由7200，即720108k3600，得k2，或k1.故在720，0)范围内，与1终边相同的角是612和252.260，设60k360(kZ)，则由72060k3600，得k1，或k0.故在720，0)范围内，与2终边相同的角是420.