1、第3讲 直线与平面垂直、平面与平面垂直一、选择题1(2009浙江卷)设、是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A若l，则l B若l，则lC若l，则l D若l，则l解析：由“一直线若垂直于两平行平面中的一个，则也必垂直于另一个平面”可知C项正确答案：C2(2009山东威海检测)过正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中任意两点的直线，与平面A1BC1垂直的直线条数有()A1条 B4条 C6条 D8条解析：依题意由图可知：连D1 B1，DB1A1C1，连AB1，DB1面A1BC1.答案：A3如图甲所示，在正方形ABCD中，EF分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF
2、及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体AEFH中必有()AAHEFH所在平面 BAGEFH所在平面CHFAEF所在平面 DHGEFH所在平面解析：折成的四面体有AHEH，AHFH，AH面HEF.答案：A4(2010河南开封调研)如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析：BAAC，BC1AC，BABC1B.AC平面ABC1.AC平面ABC，平面ABC平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必
3、在交线AB上答案：A二、填空题5(2009江苏卷)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；(2)若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；(3)设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；(4)直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析：(1)内两条相交直线分别平行于平面，则两条相交直线确定的平面平行于平面，正确(2)平面外一条直线l与内的一条直线平行，则l平行于，正确(3)如图，=l，a，al，但不一定有，错误(4)直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条相交直线
4、垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题综上所述，真命题的序号为(1)(2)答案：(1)(2) 6如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PAa，PBPDa，则它的5个面中，互相垂直的面有_对解析：面PAB面PAD，面PAB面ABCD，面PAB面PBC，面PAD面ABCD，面PAD面PCD.答案：57(2010江西南昌调研)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的即可)解析：连接AC，由题意知BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面
5、MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC)三、解答题8(2009南京第一次调研)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，点D，E，O分别为AA1，A1C1，B1C的中点证明：(1)OE平面AA1B1B；(2)平面B1DC平面BB1C1C.证明：(1)证法一：连接BC1，BA1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为四边形BB1C1C为矩形，点O为B1C的中点，所以点O也为BC1的中点因为E为C1A1的中点，所以OEA1B.因为A1B平面AA1B1B，OE平面AA1B1B，所以OE平面AA1B1B.证法二：取B1C1的中点F，连接BC1，OF，EF.因
6、为E，F分别为C1A1，C1B1的中点，所以EFA1B1，因为A1B1平面AA1B1B，EF平面AA1B1B，所以EF平面AA1B1B.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为四边形BB1C1C为矩形，点O为B1C的中点，所以点O也为BC1的中点所以OFBB1，因为BB1平面AA1B1B，OF平面AA1B1B，所以OF平面AA1B1B.因为EF平面OEF，OF平面OEF，EFOFF，所以平面OEF平面AA1B1B.因为OE平面OEF，所以OE平面AA1B1B.(2)连接OD，在直三棱柱ABC- A1B1C1中，因为AA1平面ABC，AC平面ABC，所以AA1AC.所以CD同理B1D因为AC=AB=
7、 A1B1，AD= A1 D，所以CD= B1D.因为CO=OB1，所以OBB1C.连接C1D，BD，BC1，同理可证，ODBC1，因为B1C平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，=O，所以OD平面BB1C1C.因为OD平面B1DC，所以平面B1DC平面BB1C1C.9(2010广东中山调研)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，D是BC上的一点，且ADC1D.(1)求证：A1B平面AC1D；(2)在棱CC1上是否存在一点P，使直线PB1平面AC1D？若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由证明：(1)ABCA1B1C1是正三棱柱，CC1平面ABC，CC1AD.
8、又ADC1D，CC1C1DC1，AD平面BCC1B1，ADBC，D是BC的中点连接A1C，设与AC1相交于点E，则点E为A1C的中点连接DE，则在A1BC中，D、E分别是BC、A1C的中点，A1BDE，又DE在平面AC1D内，A1B不在平面AC1D内，A1B平面AC1D.(2)解：存在这样的点P，且点P为CC1的中点下面给出证明：由(1)知AD平面BCC1B1，故B1PAD.设PB1与C1D相交于点Q，由于DC1CPB1C1，故QB1C1CC1D，因为QC1B1CDC1，从而QC1B1CDC1，所以C1QB1DCC190，所以B1PC1D.因为ADC1DD，所以B1P平面AC1D.10如图所示
9、，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF綊BC，CDE为等边三角形(1)证明：FO平面CDE；(2)设BCCD，证明：EO平面CDF.证明：(1)如图所示，取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，OMBC，又EFBC，则EFOM.连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形FOEM.又FO平面CDE，且EM平面CDE，FO平面CDE.(2)连结FM.由(1)和已知条件，在等边CDE中，CM=DM，EMCD且EM=CD=BC=EF.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EOFM.CDOM，CDEM，CD平面EOM.从而CDEO.而FMCD=M，所以EO平
10、面CDF.1.(2010创新题)正四棱锥SABCD底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为()A.2 B. C. D.解析：如图要使PE垂直AC，点P的轨迹为在底面ABCD中过点E且平行于BD的直线EG，在侧面上，只需点P在底面的射影落在EG上，由三垂线定理知PE必垂直AC，此时点P的轨迹是过SD的点H且平行SC的线段HG，同理EF也为所求，故其轨迹的周长EG+2HG=.答案：C2.()如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN. 解析：如图所示，连结MC1.MB1、MN都在平面ABB1A1内，点C1不在平面ABB1A1内，C1M是平面ABB1A1的斜线.C1B1平面ABB1A1，MB1就是斜线C1M在平面ABB1A1上的射影.B1MN=90，即B1MMN，故由三垂线定理知MC1MN，NMC1=90.答案：90w.w.w.k.s.5.u.c.o.m