1、山东省泰安市泰山国际学校10月月考考试数学试题注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1. 已知全集，集合，集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】全集U=1，2，3，4，5，集合，则.故选：C.2. 已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，则.故选：C.【点睛】本题考查了解指数不等式，交集运算，属于简单题.3. 下列函数中是偶函数，且在区间(0，+
2、)上是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式，判断f(x)和f(-x)的关系，得到奇偶性，再依次判断单调性即可得到结果.【详解】A.,函数是偶函数，在上是增函数，故不正确；B. ,是偶函数，在区间上是减函数，故正确；C. ，是奇函数，故不正确；D. ，是偶函数，但是在上是增函数，故不正确；故答案为B.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和 的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.4. 已知奇函数在区间上是
3、增函数，且最大值为，最小值为，则在区间上的最大值、最小值分别是( )A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】【分析】根据奇函数得性质可确定结果.【详解】因为奇函数关于原点对称，所以当在区间上是增函数，且最大值为，最小值为时, 在区间上的最大值、最小值分别是,选A.【点睛】本题考查利用奇函数性质求最值,考查基本分析求解能力,属基础题.5. 已知集合A=，B=，若“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简两个集合，分别讨论充分性和必要性，可选出答案.【详解】由题意，集合，充分性：若，则，满足，即“”是“”
4、的充分条件；必要性：若，集合，此时符合；集合，此时，解得.故时，即“”不是“”的必要条件.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件，考查不等式的解法，考查集合的包含关系，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.6. 命题“，”的否定为（ ）A. “，”B. “，”C. “，”D. “，”【答案】A【解析】【分析】直接利用全称命题的否定为特称命题得到答案.【详解】全称命题的否定为特称命题，故命题“，”的否定为，.故选：A.【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.7. 已知实数均为正数，满足，则的最小值是 A. 10B. 9C. D. 【答案】B【解析】
5、【分析】利用基本不等式求得，则，展开后再利用基本不等式可求得的最小值【详解】，当且仅当时，取等号则，当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.8. 函数是偶函数，且函数的图象关于点成中心对称，当时，则( )A. B. C. 0D. 2【答案】D【解析】【分析】由是偶函
6、数以及图象关于点成中心对称，可得到个关于的等式，将两个等式联立化简，可证明是个周期函数，即可计算的值.【详解】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，则有，又由函数的图象关于点成中心对称，则，则有，即，变形可得，则函数是周期为8的周期函数，；故选D【点睛】本题考查函数的对称性：（1）若，则的对称轴是：；（2）若，则的对称中心是.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求）9. 下列说法正确的是（ ）A. 若ab，cd，则a-cb-dB. 若，则abC. 若，则D. 若，则【答案】BC【解析】【分析】取特殊值排除AD，利用不等式性质判断B
7、C正确，得到答案.【详解】取，则，A错误；，故，则，B正确；，故，故，C正确；取，不成立，D错误.故选：BC.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生的推断能力，取特殊值排除是解题的关键.10. 已知函数满足，且是奇函数，则下列说法正确是（ ）A. 是奇函数B. 是周期函数C. D. 是奇函数【答案】BCD【解析】【分析】根据奇函数和周期函数的性质进行判断.【详解】, 关于点对称，令, 有，且是由向左平移1个单位得到，关于对称，所以是奇函数；又是奇函数，所以关于对称，所以 则, 所以, 即是以4为一个周期的函数，综上，选项BCD正确，A错误.故选：BCD.【点睛】本题考查周期函数和奇函数的性
8、质，属于基础题.11. 定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（ ）A. 是一个“完美区间”B. 是的一个“完美区间”C. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为D. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为【答案】AC【解析】【分析】根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.【详解】对于A，当时，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定
9、义域与值域范围相同情况，所以B错误；对于C，由定义域为，可知，当时，此时，所以在内单调递减，则满足，化简可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；当时，若，则，此时.当在的值域为，则，因为 ，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；若，则，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，解得， 所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；故选：AC.【点睛】本题考查了函数新定义综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合
10、应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.12. 已知函数，若直线与交于三个不同的点（其中），则的可能值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】BC【解析】【分析】根据导数的几何意义求出曲线在时切线的斜率，然后根据题意分别求出的取值范围，进而选出正确答案.【详解】在时，设切点的坐标为：，因此有，所以切线方程为：，当该切线过原点时，所以切点的坐标为：，因为直线与交于三个不同点， 所以有，当切线与直线相交时，解方程组：，因此有，于是有，所以，显然选项BC符合，故选：BC【点睛】本题考查好已知两曲线交点的个数求参数的到值范围，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.第II卷（非选择题)三、填
11、空题13. 方程的解是_.【答案】【解析】【分析】化简方程得到，设，解方程考虑对数函数定义域得到答案.【详解】，即，即，设，即，则，解得或（舍去），即，.故答案为：.【点睛】本题考查了解对数，指数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略定义域是容易发生的错误.14. 已知定义在上的奇函数，若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先根据奇函数求出的值，然后分析 单调性并由函数值之间的关系转变为自变量之间的关系，最后求出的范围.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，则；又因为与在上递增，所以由可得： ，故，即.【点睛】（1）奇函数在处有定义时，必定有；（2）通过函数的单调性，可以将函
12、数值之间的关系转为自变量之间的关系（注意定义域），从而完成对自变量范围的求解.15. 当时，恒成立，求实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】变换得到，再利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】，则，故，当时等号成立.故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了二次不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，参数分离结合均值不等式是解题的关键.16. 给出下列结论：；，y的值域是；函数的图像过定点；若恒成立，则的取值范围是；其中正确的序号是_.【答案】【解析】【分析】依次判断每个选项：计算知错误；取得到错误，带入数据计算知正确，错误，得到答案.【详解】，错误；取，错误；当时，正确；，则，
13、错误.故答案为：【点睛】本题考查了指数幂的计算，二次函数值域，指数函数过定点问题，解对数不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力，忽略定义域是容易发生的错误.四、解答题17. 已知集合，.当时，求实数a的取值范围.【答案】【解析】【分析】先解一元二次不等式求得集合，对对应的一元二次不等式的解集分为空集和不是空集两种情况，结合二次函数零点分布以及子集的知识列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】依题意可知当时，即，得.当时，设，则.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式和对应二次函数的关系，考查二次函数零点分布问题，考查集合子集的概
14、念和知识的运用，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.18. 讨论函数(a0)在的单调性并证明.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据定义法证明函数单调性,即在函数的定义域内任取,且,可通过作差法比较和大小,即可得到单调性【详解】在函数的定义域内任取,且则 故 故在上是单调增函数.【点睛】本题考查了用定义法证明函数单调性.在用定义法证明函数单调时要注意在所给定义内要任取两个自变量,化简表达式, 时单调递增, 时单调递减.19. 求下列最值：（1）当时，求函数的最大值；（2）设求函数的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）变换，再利用均值不等式计算得到答案.（2）变换，再利用均值
15、不等式计算得到答案.【详解】（1），则，当，即时等号成立.（2），当，即时等号成立.【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的转化能力，合理变形是解题的关键.20. 已知定义域为的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由求出，然后由求出（2）由得在上为减函数，然后将不等式化为即可.【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，解得.从而有.又由知，解得.经检验，当时，满足题意（2）由（1）知，由上式易知在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.因为是上的减函数，由上式推得.即对一切有，从而，
16、解得.【点睛】本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型.21. 已知函数.（1）若 ，试求函数的最小值；（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.【答案】（1）最小值为；（2）.【解析】【分析】（1）由利用基本不等式即可求得函数的最小值； （2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”不妨设，则只要在0，2恒成立结合二次函数的图象列出不等式解得即可【详解】解：（1）依题意得.因为x0，所以 .当且仅当，即时，等号成立.所以.故当时，的最小值为 .（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.不妨设，则只要在上恒成立.所以 即解得.所以a的取值范围是.【
17、点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于中档题22. 若定义在R上的函数f(x)同时满足下列三个条件：对任意实数均有成立；当x0时，都有f(x)0成立.（1）求f(0)，f(8)的值；（2）求证：f(x)为R上的增函数；（3）求解关于x的不等式.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）分别取，带入计算得到答案.（2）取，得到，得到证明.（3）化简得到，再利用函数单调性解得答案.【详解】（1）取，则，；取，则.（2）取，则，故，即，函数单调递增.（3），即，即，函数单调递增，故，解得.故解集为.【点睛】本题考查了求函数值，证明抽象函数单调性，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用能力.
