1、第二章测试(时间：120 分钟 总分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设 l 为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若 l，l，则 D若，l，则 l解析 由垂直同一直线的两平面平行知，B 正确答案 B2棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A平行B相交C平行或相交D不相交解析 由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选 B.答案 B3一直线 l 与其外三点 A，B，C 可确定的平面个数是()A1 个B3 个C1 个或
2、3 个D1 个或 3 个或 4 个解析 当 A，B，C 共线且与 l 平行或相交时，确定一个平面；当A，B，C 共线且与 l 异面时，可确定 3 个平面；当 A，B，C 三点不共线时，可确定 4 个平面答案 D4若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是()A三条交线为异面直线B三条交线两两平行C三条交线交于一点D三条交线两两平行或交于一点答案 D5如图，在ABC 中，BAC90，PA面 ABC，ABAC，D是 BC 的中点，则图中直角三角形的个数是()A5 B8C10 D6解析 这些直角三角形是：PAB，PAD，PAC，BAC，BAD，CAD，PBD，PCD.共 8 个答案 B6下
3、列命题正确的有()若ABC 在平面 外，它的三条边所在直线分别交 于 P，Q，R，则 P，Q，R 三点共线；若三条平行线 a，b，c 都与直线 l 相交，则这四条直线共面；三条直线两两相交，则这三条直线共面A0 个B1 个C2 个D3 个解析 易知与正确，不正确答案 C7若平面 平面，l，且点 P，Pl，则下列命题中的假命题是()A过点 P 且垂直于 的直线平行于 B过点 P 且垂直于 l 的直线在 内C过点 P 且垂直于 的直线在 内D过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 答案 B8如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD的中心，M，N 分别是棱 DD1
4、，D1C1 的中点，则直线 OM()A与 AC，MN 均垂直相交B与 AC 垂直，与 MN 不垂直C与 MN 垂直，与 AC 不垂直D与 AC，MN 均不垂直解析 易证 AC面 BB1D1D，OM面 BB1D1D，ACOM.计算得 OM2MN2ON25，OMMN.答案 A9如图，M 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，给出下列四个命题：过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，B1C1 都相交；过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，B1C1 都垂直；过 M 点有且只有一个平面与直线 AB，B1C1 都相交；过 M 点有且只有一个平面与直线 AB，B1C1 都平行其中真命题
5、是()ABCD解析 将过点 M的平面 CDD1C1绕直线 DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线 AB，B1C1 都相交，故错误，排除 A，B，D.答案 C10已知平面 外不共线的三点 A，B，C 到 的距离相等，则正确的结论是()A平面 ABC 必平行于 B平面 ABC 必不垂直于 C平面 ABC 必与 相交D存在ABC 的一条中位线平行于 或在 内解析 排除 A、B、C，故选 D.答案 D11给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，则一个平面内
6、与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是()A和B和C和D和答案 D12如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF12，则下列结论错误的是()AACBEBEF平面 ABCDC三棱锥 ABEF 的体积为定值DAEF 的面积与BEF 的面积相等解析 易证 AC平面 BB1D1D，ACBE.EF 在直线 B1D1 上，易知B1D1面 ABCD，EF面 ABCD，VABEF1312121 22 224.A、B、C 选项都正确，由排除法即选 D.答案 D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题
7、中横线上)13已知 A，B，C，D 为空间四个点，且 A，B，C，D 不共面，则直线 AB 与 CD 的位置关系是_解析 如图所示：由图知，AB 与 CD 为异面直线答案 异面14在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取点 E，F，G，H，如果 EH，FG 相交于一点 M，那么 M 一定在直线_上答案 BD15如图所示，以等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕使ABD 和ACD 折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD 与 CD 的关系为_；(2)BAC_.解析(1)ABAC，ADBC，BDAD，CDAD，BDC 为二面角的平面角，BDC90，BDDC.(
8、2)设等腰直角三角形的直角边长为 a，则斜边长为 2a.BDCD 22 a.折叠后 BC22 a 222 a 2a.折叠后ABC 为等边三角形BAC60.答案(1)BDCD(2)6016在正方体 ABCDABCD中，过对角线 BD的一个平面交 AA于 E，交 CC于 F，则：四边形 BFDE 一定是平行四边形；四边形 BFDE 有可能是正方形；四边形 BFDE 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；平面 BFDE 有可能垂直于平面BBD.以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号)解析 如图所示：BEFD，EDBF，四边形 BFDE 为平行四边形正确不正确(BFD不可能为直角)正确(其射影是正
9、方形ABCD)正确当 E，F 分别是 AA，CC中点时正确答案 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)如图，已知点 E，F，G，H 分别为正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB，BC，CC1，C1D1 的中点，求证：EF，HG，DC 三线共点证明 点 E，F，G，H 分别为所在棱的中点，连接 BC1，GF，如图GF 是BCC1 的中位线，GFBC1.BEC1H，且 BEC1H，四边形 EBC1H 是平行四边形EHBC1，GFEH.E，F，G，H 四点共面GFEH，故 EF 与 HG 必相交设 EFHGI.IGH，GH平面
10、 CC1D1D，I平面 CC1D1D.同理可证 I平面 ABCD.点 I 在交线 DC 上即 EF，HG，DC 三线共点18(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1的正方形，PA底面 ABCD，PAAB，点 M 在棱 PD 上，PB平面ACM.(1)试确定点 M 的位置，并说明理由；(2)求四棱锥 PABCD 的表面积解(1)点 M 为 PD 的中点理由如下：连接 BD，设 BDACO，则点 O 为 BD 的中点，连接 OM，PB平面 ACM，PBOM.OM 为PBD 的中位线，故点 M 为 PD 的中点(2)PA底面 ABCD，又底面是边长为 1 的正方形，S
11、 正方形 ABCD1，SPABSPAD121112，SPBC121 2 22，SPCD121 2 22.故四棱锥 PABCD 的表面积为S1212 22 22 2 2.19(12 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，M，N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1MAN 23 a，如图(1)求证：MN面 BB1C1C；(2)求 MN 的长解(1)证明：作 NPAB 于 P，连接 MP.NPBC，APABANACA1MA1B，MPAA1BB1，面 MPN面 BB1C1C.MN面 MPN，MN面 BB1C1C.(2)NPBCANAC23 a2a13，NP13a，同理 MP23a.
12、又 MPBB1，MP面 ABCD，MPPN.在 RtMPN 中 MN49a219a2 53 a.20(12 分)如图，DC平面 ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q 分别为 AE，AB 的中点(1)证明：PQ平面 ACD；(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值解(1)证明：因为 P，Q 分别为 AE，AB 的中点，所以 PQEB.又 DCEB，因此 PQDC，又 PQ平面 ACD，从而 PQ平面 ACD.(2)如图，连接 CQ，DP，因为 Q 为 AB 的中点，且 ACBC，所以 CQAB.因为 DC平面 ABC，EBDC，所以 EB平面 ABC，因此 CQEB
13、.故 CQ平面 ABE.由(1)有 PQDC，又 PQ12EBDC，所以四边形 CQPD 为平行四边形，故 DPCQ.因此 DP平面 ABE，DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角，在 RtDPA 中，AD 5，DP1，sinDAP 55，因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为 55.21(12 分)如图，在四面体 ABCD 中，CBCD，ADBD，点 E，F 分别是 AB，BD 的中点求证：(1)直线 EF面 ACD；(2)平面 EFC平面 BCD.证明(1)在ABD 中，E，F 分别是 AB，BD 的中点，EFAD.又 AD平面 ACD，EF平面 ACD，直线 EF平面 ACD.
14、(2)在ABD 中，ADBD，EFAD，EFBD.在BCD 中，CDCB，F 为 BD 的中点，CFBD.CFEFF，BD平面 EFC，又BD平面 BCD，平面 EFC平面 BCD.22(12 分)已知四棱锥 PABCD(图 1)的三视图如图 2 所示，PBC 为正三角形，PA 垂直底面 ABCD，俯视图是直角梯形(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥 PABCD 的体积；(3)求证：AC平面 PAB.解(1)过 A 作 AECD，根据三视图可知，E 是 BC 的中点，且BECE1，AECD1.又PBC 为正三角形，BCPBPC2，且 PEBC，PE2PC2CE23.PA平面 ABCD，AE平面 ABCD，PAAE.PA2PE2AE22，即 PA 2.正视图的面积为 S122 2 2.(2)由(1)可知，四棱锥 PABCD 的高 PA 2，底面积为 SADBC2CD122 132，四棱锥 PABCD 的体积为 VPABCD13SPA1332 2 22.(3)证明：PA平面 ABCD，AC平面 ABCD，PAAC.在直角三角形 ABE 中，AB2AE2BE22，在直角三角形 ADC 中，AC2AD2CD22，BC2AA2AC24，BAC 是直角三角形ACAB.又ABPAA，AC平面 PAB.