1、2.1数列学 习 目 标核 心 素 养1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)(难点)2理解数列的通项公式及简单应用(重点)3数列与集合、函数等概念的区别与联系(易混点)1.通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养2借助数列通项公式的应用，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.1数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列2数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an，其中a1称为数列an的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，an称为第n项思考1：数
2、列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？提示不是，顺序不一样思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？提示数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性3数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2，k)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值4数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示思考3：数列的通项公式anf(n)与函数解析式yf(x)有什么
3、异同？提示如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集1数列3,4,5,6，的一个通项公式为()AannBann1Cann2 Dan2nC经验证可知，它的一个通项公式为ann2.2600是数列12,23,34,45，的第_项24ann(n1)6002425，所以n24.3数列an满足anlog2(n23)2，则log23是这个数列的第_项3令anlog2(n23)2log23，解得n3.4数列1,2, ，中的第
4、26项为_2因为a11，a22，a3，a4，a5，所以an，所以a262.根据数列的前n项写出通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式(1)，2，8，；(2)9,99,999,9 999，；(3)，；(4)，.思路探究：解(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以它的一个通项公式为an(nN*)(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，.此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an10n1(nN*)(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n1)2表示，分子
5、的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an(nN*)(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n(nN*)用观察法求数列的通项公式的一般规律(1)一般数列通项公式的求法(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(1)k处理符号问题(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等1写出下列数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33，；(2)，；(3)，1，.解(1)中3可看做211,5可看做221,9可看做231,17可看做241,33可看
6、做251，.所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，所以an.(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(1)n1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是321,421,521,621，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为，所以an(1)n1.通项公式的简单应用【例2】已知数列an的通项公式是an2n2n.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为an中的项？3是否为an中的项？思路探究：(1)令n1,2,3求解即可；(2)令an45或an3解n便可解(1)在通项公式中依次取n1,
7、2,3，可得an的前3项分别为：1,6,15.(2)令2n2n45，得2n2n450，解得n5或n(舍去)，故45是数列an中的第5项令2n2n3，得2n2n30，解得n1或n，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项1如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项2判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n的方程；(3)若n为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项提醒：数列项的取值为正的自然数，是离散的，解题时要关注n的取值特点2已知数列an的通项公式为an(nN*)(1)0和1是不是数列an中
8、的项？如果是，那么是第几项？(2)数列an中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？解(1)令an0，得n221n0，n21或n0(舍去)，0是数列an中的第21项令an1，得1，而该方程无正整数解，1不是数列an中的项(2)假设存在连续且相等的两项为an，an1，则有anan1，即，解得n10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项数列的性质探究问题1数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项？提示可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列an中，nN*.2如何定义数列an的单调性？提示对于数列的单调性的判断一般要通过比
9、较an1与an的大小来判断，若an1an，则数列为递增数列，若an1an，则数列为递减数列【例3】设数列an的通项公式为ann2kn(nN*)数列an是单调递增的，求实数k的取值范围思路探究：利用二次函数的单调性，求得k的取值范围解ann2kn，其图象的对称轴为n，当1，即k2时，an是单调递增数列另外，当12且12，即3kan1恒成立，即n2kn(n1)2k(n1)对任意nN*恒成立整理得k2n1对任意nN*恒成立，因为f(n)2n1(nN*)没有最小值，故不存在实数k使ann2kn单调递减1函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，
10、其所对应的函数不一定单调2求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若则an为最大项；若则an为最小项1与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的(2)可重复性：数列中的数可以重复(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关2并非所有的数列都能写出它的通项公式例如，的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14，3.141，它没有通项公式根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项
11、后的特征；各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转化、归纳3如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式1判断正误(1)数列1,1,1，是无穷数列()(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列()(3)有些数列没有通项公式()答案(1)(2)(3)提示(1)正确每项都为1的常数列，有无穷多项(2)错误虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列(3)正确某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式2在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A11B12C13 D14C观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x5813.3已知数列2，4，则8是该数列的第_项11令8，得n11.4已知数列.(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内解设f(n).(1)令n10，得第10项a10f(10).(2)令，得9n300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项(3)证明：an1，又nN*，01，0an1.即数列中的各项都在区间(0,1)内