1、一、选择填空题1.设数列an的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n1)，且4=54，则1的数值是 . 【答案】2。【考点】数列的求和。【分析】根据4=S4S3列式求解即可：Sn=，4=54，且4=S4S3，解得。2.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则=【 】A33 B72 C84 D189【答案】C。【考点】等比数列的性质。【分析】根据等比数列中，首项，前三项和为21，可求得，根据等比数列的通项公式，分别求得，和代入，即可得到答案：在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，3+3+32=21。=2。故选C。3.对正整数n，设曲线在2处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前
2、项和的公式是【答案】。【考点】应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前项和的公式。【分析】，。曲线在2处的切线的斜率为，切点为（2，）。所以切线方程为。把，代入，得。数列的前项和为。4.将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为【答案】。【考点】归纳推理，等比数列的前项和。【分析】前n1 行共有正整数12（1）个，即个，第n 行第3 个数是全体正整数中第3个，即为。5.设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= .【答案】。【考点】等比数列的性质，数列的应用，等价转化能力和分析问题的能力
3、。【分析】，数列有连续四项在集合中， 有连续四项在集合中。 按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现24，36，54，81成等比数列，是中连续的四项，比为。6.函数的图像在点()处的切线与轴交点的横坐标为，为正整数，则【答案】21。【考点】抛物线的性质, 函数的切线方程,数列的通项。【分析】求出函数在点()处的切线方程，然后令=0代入求出的值，再结合得到数列的通项公式，再得到的值：函数在点()处的切线方程为：，当时，解得。7.（江苏2011年5分）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是【答案】。【考点】等差数列、等比数列的意义和性质，不等式的性质。【分析】由
4、题意得，要求的最小值，只要求的最小值，而的最小值为1，。8. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 【解析】组成满足条件的数列为：从中随机取出一个数共有取法种，其中小于的取法共有种，因此取出的这个数小于的概率为.【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.9在正项等比数列中，则满足的最大正整数 的值为 。答案： 1412二、解答题1.设无穷等差数列an的前n项和为Sn.()若首项，公差，求满足的正整
5、数k；()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数都有成立.【答案】解：（I）当时，由，即。 又。（II）设数列an的公差为d，则在中分别取=1，2,得。解得。若成立；若故所得数列不符合题意。若；若。综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：an : an=0，即0，0，0，；an : an=1，即1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，。【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。【分析】（I）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到求得。（）设数列an的公差为d，在 Sn2=(Sn)2中分别取=1，2求得，代入到前n项的和中分别求得d，进而对和d进行验证，最后综合求得答案
6、。2.设数列的前项和为，已知，且，其中A.B为常数求A与B的值；（2分）证明：数列为等差数列；（6分）证明：不等式对任何正整数都成立（6分）【答案】解：（1）由已知，得，由，知，即，解得。（2）由（1）得 得， 得 。，。 ， 。 ，。又 ，数列为等差数列。（3）由（2） 可知，要证，只要证。因为，故只要证，即只要证。因为 ，由于以上过程是可逆的，所以命题得证。【考点】数列的应用。【分析】（1）由题意知，从而解得A=20，B=8。（2）由（）得，所以在式中令，可得由此入手能够推出数列an为等差数列。（3）由（2）可知，然后用分析法可以使命题得证。3.设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明为
7、等差数列的充分必要条件是为等差数列且（=1,2,3,）【答案】证明：必要性：设是公差为的等差数列，则。（=1,2,3,）成立。又(常数)（=1,2,3,）数列为等差数列。充分性： 设数列是公差为的等差数列，且（=1,2,3,）， ，得。又， 。从而有 。得。，即, ，由得（=1,2,3,）。由此不妨设（=1,2,3,）则 (常数)。由此， 从而。 得。(常数=1,2,3,)。所以数列是等差数列。【考点】等差数列的性质，必要条件、充分条件与充要条件的判断。【分析】本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，理解公差的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式利
8、用递推关系是解决数列的重要方法，熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来。4.已知 是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和，（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）【答案】解：设的公差为，由，知，（）（1）证：，。（2）证：，且，解得，或，但，。是正整数，是整数，即是整数。设数列中任意一项为，设数列中的某一项=，现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可。， 。若，则，那么。当时，
9、只要考虑的情况，是正整数。是正整数。数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。（3）设数列中有三项成等差数列，则有2。设，则2。令，则。，解得。即存在使得中有三项成等差数列。【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质【分析】（1）设的公差为，由，把代入，即可表示出，题设得证。（2）利用，可得，整理即可求得，从而可判定是整数，即是整数。设数列中任意一项为，设数列中的某一项=，只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可。（3）设数列中有三项成等差数列，利用等差中项的性质建立等式，设，从而可得以2，令，求得。5.（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一
10、项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列【答案】解：（1）（i）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去，则，即化简得，得。若删去，则，即化简得，得。综上，得或。（ii）当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛
11、盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)。综上所述，。（2）假设对于某个正整数，存在一个公差为d的项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0。当与同时为0时，有与题设矛盾；故与同时不为0，所以由（*）得。，且x、y、z为整数，上式右边为有理数，从而为有理数。对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如项数列1，满足要求。【考点】等差数列的性质，等比关系的确定，等比数列的性质【分析】（1）根据题意，对=4，=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列
12、的性质进行论证，从而推广到4的所有情况（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可。6.学设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。【答案】解：（1）设公差为，则，由性质得。，即。又由得，解得，。数列的通项公式为；前项和。（2）为数列中的项，为整数，且为正整数，。经检验，符合题意的正整数只有。【考点】数列的求和，等差数列的性质。【分析】（1）先把已知条件用及表示，然后联立方程求出，代入等差数列的通项公式及前项和公式可求。（2）先把已知化简可得，然后结合数列的通项公式可寻求满足的条件。7.设各项均为正数的数列的前n项和
13、为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。【答案】解：（1）由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求。（2）， 恒成立。 又，故，即的最大值为。【考点】等差数列的通项、求和以及基本不等式。【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于、的方程，求出，从而推出，再利用与的关系求出。（2）利用（1）的结论，对进行化简，转化为基本不等式问题求解，求出的最大值的范围。9.（江苏2011年16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数属于M，当时，都成立.（1）设
14、M=1，求的值；（2）设M=3，4，求数列的通项公式.【答案】解：（1）由题设知，当时，即，。又，当时，的值为8。(2) 由题设知, 当，且时，且，两式相减得，即，当时，成等差数列，且也成等差数列。当时， ，且。 当时，即。当时，成等差数列，从而。由式知，即。当时，设，当时，从而由式知，从而，。，对任意都成立。又由（可知，且。解得。，。数列为等差数列，由知，所以数列的通项公式为。【考点】数列递推式，数列与函数的综合。【分析】（1）由集合M的元素只有一个1，得到=1，所以当大于1即大于等于2时，都成立，变形后，利用化简，得到当大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的
15、等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把=5代入通项公式即可求出第5项的值；（2）由，利用数列递推式得到，从而求出，得到数列的通项公式。10.（江苏2011年附加10分）设整数，是平面直角坐标系中的点，其中，（1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求【答案】解：（1）点的坐标满足条件，。（2）设为正整数，记为满足条件以及的点的个数。只要讨论的情形。由,知，且,设，其中，则，将代入上式，化简得，。【考点】计数原理，数列递推式。【分析】（1）为满足的点P 的个数，显然的坐标的差值，与中元素个数有关，直接写出的表达式即可。（2）设为正整数，记为满足题设条件以及的点的个数
16、，讨论1的情形，推出，根据的范围 ，说明是3的倍数和余数，然后求出。11.（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 数列是以1 为公差的等差数列。（2），。 。（） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，当时，与（）矛盾。 若则，当时，与（）矛盾。 综上所述， 。，。 又，是公比是的等比数列。 若，则，于是。 又由即，得。 中至少有两项相同，与矛盾。 。 。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。 （2
17、）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。8.设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，其中为实数。（1）若，且成等比数列，证明： （）；（2）若是等差数列，证明：。9.设函数，其中为实数。（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。证明：是首项为，公差为的等差数列，是其前项和（1） 成等比数列 左边= 右边=左边=右边原式成立（2）是等差数列设公差为，带入得： 对恒成立由式得： 由式得：法二：证：（1）若，则，当成等比数列，即：，得：，又，故由此：，故
18、：（）（2）， ()若是等差数列，则型观察()式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而0，故经检验，当时是等差数列9.设数列，即当时，记，对于，定义集合（1）求集合中元素的个数； （2）求集合中元素的个数。本题主要考察集合数列的概念与运算计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。（1）解：由数列的定义得：，集合中元素的个数为5（2）证明：用数学归纳法先证事实上， 当时， 故原式成立 假设当时，等式成立，即 故原式成立则：，时，综合得： 于是由上可知：是的倍数而，所以是的倍数又不是的倍数，而所以不是的倍数故当时，集合中元素的个数为于是当时，集合中元素的个数为又故集合中元素的个数为
