1、2015-2016学年山西省太原五中高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案）1复数=（）AiBiCD2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R=（）AB
2、CD4由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD65若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A0，+）B（，0C（，0）D（0，+）6函数f（x）=（x22x）ex（e为自然数的底数）的图象大致是（）ABCD7已知函数y=f（x）（xR）上任一点（x0，f（x）处的切线斜率k=（x02）（x0+1）2，则该函数的单调减区间为（）A1，+B（，2C（，1），（1，2）D2，+）8已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A1BC1D2
3、9设y=f（x）是y=f（x）的导数某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）都有对称中心（x0，f（x0），其中x0满足f（x0）=0已知f（x）=x3x2+3x，则f（）+f（）+f（）+f（）=（）A2013B2014C2015D201610对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A1是f（x）的零点B1是f（x）的极值点C3是f（x）的极值D点（2，8）在曲线y=f（x）上二、填空题（每小题4分，共16分）11计算定积分（x2+sinx）dx=12设复数z满足i（
4、z+1）=3+2i（i为虚数单位），则z的实部是13观察下列式子：，根据上述规律，第n个不等式应该为14设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）a=3，b=3a=3，b=2a=3，b2a=0，b=2a=1，b=2三、解答题（共44分）15已知函数f（x）=exx2ax若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值16已知f（x）=（x2+ax+a）ex（a2，aR）（1）讨论f（x）的单调性，并求出极值；（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由17设函数f（x）=x3x2+bx+c
5、，其中a0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0）处的切线方程为y=1，（1）确定b，c的值；（2）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）及（x2，f（x2）处的切线都过点（0，2），证明：当x1x2时，f（x1）f（x2）；（3）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围18已知函数f（x）=ln（x+a）x2x在x=0处取得极值（1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：对任意的正整数n，不等式2+ln（n+1）都成立2015-2016学年山西省太原五中高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个正
6、确答案）1复数=（）AiBiCD【考点】复数代数形式的混合运算【分析】将分子、分母同乘以12i，再按多项式的乘法法则展开，将i2用1代替即可【解答】解： =i故选A2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做
7、的假设是方程x2+ax+b=0没有实根故选：A3设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R=（）ABCD【考点】类比推理【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面
8、体的体积为 R=故选C4由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD6【考点】定积分在求面积中的应用【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为：S=故选C5若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A0，+）B（，0C（，0）D（0，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a的范围【解答】解：函数
9、f（x）=x+alnx的定义域为：x0函数f（x）=x+alnx的导数为：f（x）=1+，当a0时，f（x）0，函数是增函数，当a0时，函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（，0）故选：C6函数f（x）=（x22x）ex（e为自然数的底数）的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定【解答】解：因为f（0）=（0220）e0=0，排除C；因为f（x）=（x22）ex，解f（x）0，所以或时f（x）单调递增，排除B，D故选A
10、7已知函数y=f（x）（xR）上任一点（x0，f（x）处的切线斜率k=（x02）（x0+1）2，则该函数的单调减区间为（）A1，+B（，2C（，1），（1，2）D2，+）【考点】函数单调性的判断与证明【分析】由题意可知函数的导函数为=（x02）（x0+1）2 ，求该函数的单调减区间，即函数的斜率小于0即可，因此使k=（x02）（x0+1）2小于0即可求出函数的单调减区间【解答】解：由题意可知函数的导函数为（x02）（x0+1）2，函数的单调减区间，即函数的导函数小于0即可，因此使（x02）（x0+1）20，得x02，故答案选B8已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与
11、函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A1BC1D2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出两个函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论【解答】解：f（x）=lnx，g（x）=x2+a，f（x）=，g（x）=x，l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，k=f（1）=1，又f（1）=0，则切线l的方程为y0=x1，即y=x1，当x=1时，y=11=0，即切点坐标为（1，0），切点（1，0）也在函数g（x）上，即g（1）=+a=0，解得a=，故选：B9设y=f（x）是y=f（x）的导数某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）=
12、ax3+bx2+cx+d（a0）都有对称中心（x0，f（x0），其中x0满足f（x0）=0已知f（x）=x3x2+3x，则f（）+f（）+f（）+f（）=（）A2013B2014C2015D2016【考点】函数的值【分析】结合题意求导可得f（x）=2x1，从而可求出（，1）是f（x）=x3x2+3x的对称中心； 从而利用对称性求得f（）+f（）=2，f（）+f（）=2，从而求得【解答】解：f（x）=x3x2+3x，f（x）=x2x+3，f（x）=2x1，令f（x）=2x1=0解得，x=，f（）=1，由题意知，（，1）是f（x）=x3x2+3x的对称中心； 故f（）+f（）=2，f（）+f（）=
13、2，故f（）+f（）+f（）+f（）=2016，故选D10对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A1是f（x）的零点B1是f（x）的极值点C3是f（x）的极值D点（2，8）在曲线y=f（x）上【考点】二次函数的性质【分析】可采取排除法分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论【解答】解：可采取排除法若A错，则B，C，D正确即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f（x）=2ax+b，即有f（1）=0，即2a+b=0，又f（1）=3，即a+b+c=3，又f（2）=8
14、，即4a+2b+c=8，由解得，a=5，b=10，c=8符合a为非零整数若B错，则A，C，D正确，则有ab+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有ab+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有ab+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=不为非零整数，不成立故选：A二、填空题（每小题4分，共16分）11计算定积分（x2+sinx）dx=【考点】定积分【分析】求出被积函数的原函数，再计算定积分的值【解答】解：由题意，定积分=故答案为：12设复数z满足i（z+1）=3+2i（i为虚数单位
15、），则z的实部是1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】复数方程两边同乘i，化简后移项可得复数z，然后求出它的实部【解答】解：因为i（z+1）=3+2i，所以ii（z+1）=3i+2ii，所以z+1=3i+2，z=1+3i它的实部为：1；故答案为：113观察下列式子：，根据上述规律，第n个不等式应该为1+【考点】归纳推理【分析】根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论【解答】解：根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项
16、，2为公差的等差数列，所以第n个不等式应该为1+故答案为：1+14设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）a=3，b=3a=3，b=2a=3，b2a=0，b=2a=1，b=2【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值【解答】解：设f（x）=x3+ax+b，f（x）=3x2+a，a=3，b=3时，令f（x）=3x23=0，解得x=1，x=1时f（1）=5，f（1）=1；并且x1或者x1时f（x）0，所以f（x）在（，1）和（1，+）都是增函数，所以函数图象与x轴只
17、有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图a=3，b=2时，令f（x）=3x23=0，解得x=1，x=1时f（1）=0，f（1）=4；如图a=3，b2时，函数f（x）=x33x+b，f（1）=2+b0，函数图象形状如图，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f（x）=3x20恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f（x）=3x2+10恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是故答案为：三、解答题（共
18、44分）15已知函数f（x）=exx2ax若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由题意f（x）0，即ex2xa0恒成立，可得a（ex2x）min，令h（x）ex2x，利用导数研究起单调性、极值与最值，即可得出【解答】解：由题意f（x）0，即ex2xa0恒成立，a（ex2x）min，令h（x）=ex2x，则h（x）=ex2令h（x）=0，解得x=ln2可得如下表格：x（，ln2）ln2（ln2，+）h（x）0+h（x）减函数极小值增函数h（x）min=h（ln2）=22ln2，a22ln2a的最大值为22ln216已知f（x）=（x2+ax+a）e
19、x（a2，aR）（1）讨论f（x）的单调性，并求出极值；（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）对函数求导，求得函数的单调区间，从而可讨论f（x）的单调性，并求出极值；（2）先求导函数，研究函数的单调区间，由单调区间求出函数的极大值，结合条件进行判断即可【解答】解：（1）f（x）=（2x+a）exex（x2+ax+a）=exx2+（2a）x令f（x）=0，得x=0或x=2a0列表如下：x（，0）0（0，2a）2a（2a，+）f（x）0+0f（x）极小极大由表可知f（x）极小=f（0
20、）=a，（2）设g（a）=（4a）ea2，g（a）=（3a）ea20，g（a）在（，2）上是增函数，g（a）g（2）=23（4a）ea23不存在实数a使f（x）最大值为317设函数f（x）=x3x2+bx+c，其中a0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0）处的切线方程为y=1，（1）确定b，c的值；（2）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）及（x2，f（x2）处的切线都过点（0，2），证明：当x1x2时，f（x1）f（x2）；（3）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算【分析】（1）由f（x）求得f（0）=c，由
21、f（x）求得f（0）=b；再由切线方程为y=1，得出b、c的值（2）由y=f（x）的切线过点（0，2），写出切线方程，用反证法可以证明该方程满足题目中的条件（3）过点（0，2）作y=f（x）的三条切线，等价于方程2f（t）=f（t）（0t）有三个相异的实根，等价于函数满足某些条件，利用导数有解函数，得出a的取值【解答】解：（1）f（x）=x3x2+bx+c，f（0）=c，f（x）=x2ax+b，f（0）=b；又y=f（x）在点P（0，f（0）处的切线方程为y=1，f（0）=1，f（0）=0b=0，c=1（2）b=0，c=1时，处的切线方程为yf（t）=f（t）（xt），而点（0，2）在切线上，
22、2f（t）=f（t）（t），化简得下面用反证法证明假设f（x1）=f（x2），由于曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）及（x2，f（x2）处的切线都过点（0，2），则下列等式成立：；由得x1+x2=a，由得+x1x2+=a2；又+x1x2+=x1x2=a2x1（ax1）=ax1+a2=+a2a2由得x1=，此时x2=，这与x1x2矛盾，f（x1）f（x2）（3）由（2）知，过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，等价于方程2f（t）=f（t）（0t）有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根；设g（t）=t3t2+1，g（t）=2t2at=2t（t）；a0，有t（，0）0g（t）+00
23、+g（t）极大值1极小值由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，当且仅当0，即a的取值范围是18已知函数f（x）=ln（x+a）x2x在x=0处取得极值（1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：对任意的正整数n，不等式2+ln（n+1）都成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）函数f（x）=ln（x+a）x2x，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f（0）=0，求得a值，从而求出函数的单调区间即可；（2）法一：f（x）=ln（x+1）x2x的定义域为x|x1，利用导数研究其单调性，可以推出ln（x+1）x2x0，令x=，利
24、用不等式进行放缩证明；法二：根据数学归纳法证明；法三：根据定积分证明即可【解答】解：（1）函数f（x）=ln（x+a）x2x，f（x）=2x1，当x=0时，f（x）取得极值，f（0）=0，解得a=1，经检验a=1符合题意，f（x）=，当x（1，0）时，f（x）0，于是f（x）在（1，0）上单调递增；当x（0，+）时，f（x）0，于是f（x）在（0，+）上单调递减（2）法一：由（1）得：f（0）是f（x）在（1，+）上的最大值，f（x）f（0），故ln（x+1）x2x0，（当且仅当x=0时，“=”成立），对任意正整数n，取x=0得：ln（+1）+，ln（），故2+ln2+ln+ln+ln=ln（n+1）；（方法二）数学归纳法证明：当n=1时，左边=，右边=ln（1+1）=ln2，显然2ln2，不等式成立假设nk（kN*，k1）时，ln（k+1）成立，则n=k+1时，有；作差比较：，构建函数F（x）=ln（1+x）xx2（x（0，1），则，F（x）在（0，1），单调递减，F（x）F（0）=0，取，即，亦即，故n=k+1时，有，不等式成立，综上可知，对任意的正整数n，不等式ln（n+1）都成立；方 法三 =ln（n+1）2016年11月1日
