1、章末综合能力测试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1不等式9x26x10的解集是()A. B.C D.解析：由9x26x10，得(3x1)20，可求得其解为x.答案：D2已知正三角形ABC的两个顶点A(1,1)，B(1,3)，且顶点C在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是()A(1，2) B(0,2)C(1,2) D(0,1)解析：利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围如下图根据题意得C(1，2)作直线xy0，并平移，过点B(1,3)和C(1，2)时，zxy分别取最大值和最
2、小值，则(1)2z Dx解析：由题意应有，A(1x)2A(1a)(1b)，1x，x，故选B.答案：B4已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为()A1 B2C3 D4解析：abxy，cdxy，x0，y0，则4，当且仅当xy时取等号答案：D5已知关于x的不等式2的解集为P.若1P，则实数a的取值范围为()A(，01，)B1,0C(，1)(0，)D(1,0解析：不等式2的解集为P，且1P，2，即0，11，y1，且xy16，则log2xlog2y()A有最大值2 B等于4C有最小值3 D有最大值4解析：x1，y1，且xy16，log2x0，log2y0且log
3、2xlog2ylog2164.log2xlog2y24(当且仅当xy4时取等号)答案：D7如图，某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车的运营总利润y(单位：10万元)与营运年数x(xN)为二次函数关系若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运()A3年 B4年C5年 D6年解析：由图象知抛物线顶点坐标为(6,11)，且过点(4,7)设ya(x6)211，将点(4,7)代入，得7a(46)211，a1.y(x6)211x212x25.年平均利润为x1212.x10，当x5时，有最大值2.故选C.答案：C8若不等式x2ax10对一切x成立，则a的最小值为()A0 B2C D
4、3解析：不等式x2ax10对一切x成立，对一切x，axx21，即a成立令g(x).易知g(x)在内为增函数当x时，g(x)max.a的取值范围是a，即a的最小值是.故选C.答案：C9已知a1a2a30，则使得(1aix)21(i1,2,3)都成立的x的取值范围是()A. B.C. D.解析：“求(1aix)21(i1,2,3)都成立的x的取值范围”实质上是求不等式组的解集，由于这几个不等式结构一样，则其中解集“最小”的一个不等式的解集即是不等式组的解集(1aix)21即ax22aix0，aix(aix2)0，这个不等式可化为x0，0x.若取最小值，则ai应取最大值，因此0x0，y0，y0，x1
5、.xyxx124，当且仅当x1，即x2(负值舍去)时等号成立即xy4，)答案：D11某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z1 600x2 400y，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点P(5,12)时，有最小值zmin36 800(元)答案：C12已知两条直线l1：ym和l2：y
6、(m0)，l1与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为()A16 B8C8 D4解析：在平面直角坐标系下作出函数y|log2x|的图象如图所示，不妨设点A(x1，m)，B(x2，m)，C，D，则0x11x2，0x310)，则tm4，当且仅当24，即m时，t取最小值为，此时的最小值为8.答案：B二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)13若函数f(x)(2a2)xa在区间0,1上恒为正，则实数a的取值范围是_解析：当2a20时，a.由题意知a时符合题
7、意当2a20，即a时，f(x)是一次函数，在0,1上是单调的，即解得0a2且a.综上可知0a2.答案：(0,2)14在R上定义运算，abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为_解析：x(x2)x(x2)2xx2x2x2，x(x2)0，即x2x20，即(x2)(x1)0，实数x的取值范围为2x1.答案：(2,1)15实系数一元二次方程x2ax2b0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，则的取值范围为_解析：设f(x)x2ax2b，由题意可知f(x)的图象如图1所示，则有图1图2点(a，b)对应区域如图2所示阴影部分(不含边界)，其中A(3,1)，B(2,0)
8、，C(1,0)，的几何意义是点(a，b)和点D(1,2)连线的斜率kAD，kCD1，由图可知kADkCD，0，b0)的最大值为6，则的最小值为_解析：作出可行域如图所示的阴影部分，平移直线l：axby0，由于a0，b0，直线l的斜率为0，b0.2.(当且仅当，即ab时取等号)答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)求函数y的最小值解析：令tx21，则t1，且x2t1.yt1.t1，t22，当且仅当t，即t1时，等号成立当t1时，min2，此时x0，ymint13.故当x0时，函数y取最小值，ymin3.18(本小题满分12分)
9、已知f(t)log2t，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，使不等式x2mx42m4x恒成立，求x的取值范围解析：t，8，f(t).对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx42m4x恒成立，即m(x2)(x2)20恒成立当x2时，不等式不成立，x2.令g(m)m(x2)(x2)2，为m的一次函数m，问题转化为g(m)在m上恒大于0，则解得x2或x1.19(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2(2a1)xa1.(1)若a2，解关于x的不等式f(x)0；(2)若对于a2,2，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围解析：(1)若a2，则不等式f(x)0化为2x25x30，不等式f(x)0
10、的解集为.(2)ax2(2a1)xa1a(x1)2(x1)，令g(a)a(x1)2(x1)，则g(a)是关于a的一次函数，且一次项的系数为(x1)20，当x10时，f(x)0不合题意；当x1时，g(a)为2,2上的增函数f(x)0恒成立，只要使g(a)的最大值g(2)0即可，即g(2)2(x1)2(x1)0，解得1x0时恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由解析：存在将不等式4kx0变形，即kx4(x0)可设f1(x)，f2(x)kx4.故f2(x)中参数k的几何意义是直线ykx4的斜率由下图知当直线ykx4与曲线y相切时，关于x的方程kx4有唯一大于0的解，将方程整理成关于x的一元二次方程kx24x40.由(4)244k0，可得k3.又直线ykx4过定点(0，4)，故要使f1(x)f2(x)(x0)恒成立，只需k3即可综上，存在实数k3，)使不等式恒成立