1、最后冲刺【高考预测】1.向量及其运算2.平面向量与三角、数列3.平面向量与平面解析几何4.解斜三角形5.向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合6.平面向量为背景的综合题易错点1 向量及其运算1 (2012模拟题精选)如图6-1，在 RtABC中，已知BC=a，若长为 2a的线段PQ以点A为中点，问与 的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值 【错误答案】此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续【错解分析】 此题是湖北省20典型例题)已知，|a|=，|b|=3，a与b的夹角为45，当向量a+b与a+b的夹角为锐角时，求实数A的范围【错误答案】 由已知ab=|a|b|cos45=3，a+
2、b与a+b的夹角为锐角，(a+b)(a+b)0即|a|2+|b|2+(2+1)ab=0，2+9+ 3(2+1)0，解得实数的范围是【错解分析】 解题时忽视了a+b与a+b的夹角为0的情况，也就是(a+b)(a+b)0既包括了 a+b与a+b的夹角为锐角，也包括了a+b与a+b的夹角为0，而a+b与a+b的夹角为0不合题意【正确解答】 由已知ab=|a|b|，|b|cos45=3又a+b与a+b的夹角为锐角，(a+b)(a+ b)0，且a+b(a+b)(其中 k,0)由(a+b) (a+b)0，得|a|2+|b|2+(2+1)ab0即32+11 +30，解得由a+b (a+b)，得1,，即1，综
3、上所述实数的取值范围是(-，,1)(1，+) 3(2012模拟题精选)已知O为ABC所在平面内一点且满足，则AOB与AOC的面积之比为 ( ) A1 B. D2【错误答案】 O在BC边上，且 ,又AOB与AOC高相等，AOB与AOC的面积之比为2，选D 【错解分析】 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O为ABC的重心的情况下，才有，而本题无此已知条件 【正确解答】 (1)如图6-3，在AB上取一点D，使又由已知O为CD的中点，不妨设SAOC =S，则SAOD=S(两者等底同高)AOB的面积与AOC的面积之比为3：2，选B【变式探究】 1 ABC内接于以O为圆心，1为半径的
4、圆，且 (1)求答案：由已知得2，所以 (2)求ABC的面积 答案：设AOB=，AOC=，BOC=，由=，得cos=，sin=，SAOB= |sin=11 同理可求得cos=-，sin=，SAOC= cos=-，sinr=，SBOC= 由于为锐角，,为钝角，所以不可能在AOB内部，故AOB、AOC、BOC互不重叠SABC=SAOB+ SAOC+SBOC=2 已知向量a=(1，1)，b：(1，0)，c满足ac=0，且|a|=|c|，bc0 (1)求向量c；答案：设 =(m，n)，由ac=0，得m+n=0再由，|a|=|c|，得m2+n2=2，联立，解得m=1，n= -1或m=-l，n=1，又b，
5、c=(1，0)(m，n)=m0 m=1，n=-1，c=(1，-1) (2)若映射f:(x，y)+(x，y)=xo+yc，将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线l，使得l上任一点在映射f的作用下的点仍在直线l上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由答案：解：设点A分所成比为，则=，所以-=(-)即a-b=(c-d)，则(1+)a-b-c=0 (1)由已知条件得c=3b-ma代人(1)得(1+)a-b-3b+ma=0，即(1+m)a-(1+3)b=0 不共线，a、b不共线 1+m=0，1+3=0，解得=-，m=2 A分所成的比为-，m=2易错点2 平面向量与三角、数列1.设函数f(x)
6、=ab,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,)求x;(2)若函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)(|m|0，sin2=cos，由于cos0，得sina= ，则cos=2设向量a=(cos23，cos67)b=(cos68，cos22)，c =a+tb(tR)，求|c|的最小值 |b|=1，x2+y2=1 (2)，联立(1)、(2)得x=-1，y=0或x=0，y=-1， b=(-1，0)或b=(0，-1) (2)若t=(1，0)且bt，c=(cosA，2cos2)，其中A、C是ABC的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围答案：由题意得B=，A+C=，
7、bt，t=(1，0)，b=(0，-1)，b+C=(cosA，cosC)，|b+C|2=cos2A+cos2c=1+(cos2A+cos2C)1+cos2A+cos2(-A)=1+cos(2A+)，0A，2A+，-1cos(2A+)，|b+c|2 ，|b+c|易错点3平面向量与平面解析几何 1(2012模拟题精选)已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点F(-m，0)(m是大于0的常数)(1)求椭圆的方程； (2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y 轴交于点M，若，求直线l的斜率【错误答案】 第(2)问：设Q(xo，yo)，直线J的方程为 y=k(x+m)，则点M(0，km)，由已知得
8、F、Q、M三点共线，且 ，由于F(-m，0)， M(0，km)，由定比分点坐标公式，得xQ=2(2012模拟题精选)如图64，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=ACBD，M为CD的中点 (1)求点M的轨迹方程； (2)过M作AB的垂线，垂足为N，若存在常数o，使，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹C的方程 【错误答案】 第(2)问：设P(x，y)，M(xo，yo)，则N(0，yo) x-xo=-ox,y-yo=o(yo-y)，o=-1【错解分析】 对分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上M、N、P三点共线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出o=-1是错误的
9、【正确解答】 (1)解法1：设M(x，y)，则C(x， -1+即(x，y-1)(x，y+1)=0，得x2+y2=1，又x0，M的轨迹方程是:x2+y2=1(x0)痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。都落在AD上，记为B；折痕l与AB交于点E，使M满足关系式 (1)建立适当坐标系，求点M的轨迹方程； (2)若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，F是AB边上的一点，过点F的直线交曲线于P、Q两点，且 ，求实数的取值范围【错误答案】 第(1)问：以AB的中点为坐标原点，以 AB所在的直线为y轴建立直角坐标系，则A(0，1)，B(0，1)，设E(0，t)，B(xo，1)
10、，则由 y=-t，M的轨迹方程为x=x0，y=-t【错解分析】 对轨迹方程的理解不深刻，x=xo，y=-t不是轨迹方程，究其原因还是题目的已知条件挖掘不够，本题中|=|是一个很重要的已知条件【正确解答】 (1)解法1以AB所在的直线为y轴，AB的中点为坐标原点，建立如图6-6所示的直角坐标系，别 A(0，1)，B(0，-1)，设E(0，t)，则由已知有0t1，由及B在AD上，可解得B(2，1)由 +得(x，y-t)=(0，-1-t)+(2，1-t)，即x=2y=-t，消去t得x2=-4y(0x2) 解法2以EB、EB分邻边作平行四边形由于知四边形EBMB，为菱形，且，动点M到定直线AD的距离等
11、于M到定点B的距离，M的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线的一部分轨迹方程为x2=-4y(0x2)(2)由(1)结合已知条件知C的方程是x2=-4y (-2x2)，由知F(0，)，设过F的直线的斜率为k，则方程为y=，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 得x1=-x2，联立直线方程和C得方程是x2 +4kx-2=0，由-2x2知上述方程在-2，2内有两个解，由；次函数的图像知 ，由x=-x2可得由韦达定理得a2=6，e=【错解分析】与(3，-1)共线，不是相等，错解中，认为 (3，-1)，这是错误的，共线是比例相等【正确解答】 (1)(前同错解)，与a共线，得3(y1+y2)+(x1+
12、x2)=0，3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=Ox1+x2=c，代入(2)证明：由(1)知a2=3b2，所以椭圆可化为 x2+32=3b2设(x，y)，由已知得(x，y)=(x1，y1)+(x2，y2)， M(x，y)在椭圆上， (x1+x2)23(y1+y2)2=3b2 即2()+2(x1x2+2y1y2)= 3b2 由(1)知x2+x2= x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2= =0 又又，代入得 2+2=1故2+2为定值，定值为1【特别提醒】平面向量与平面解析几何结合是高考中的热点题型，解此类题目关键是将向量关系式进行
13、转化，这种转化一般有两种途径：一是利用向量及向量的几何意义，将向量关系式转化为几何性质，用这种转化应提防忽视一些已知条件；二是将向量式转化为坐标满足的关系式，再利用平面解析几何的知识进行运算，这种转化是主要转化方法，应予以重视【变式探究】 1 已知ABC中，A(0，1)，B(2，4)，C(6，1)，P为平面上任一点，点M、N满足，给出下列相关命题：； (2)直线MN的方程是3x+10y-28=0；(3)直线MN必过ABC外心；(4)起点为A的向量(+AC)(R+)所在射线必过N，上面四个选项中正确的是_.(将正确的选项序号全填上) (1)若证A的横坐标为x，B的纵坐标为y，试求点P(x，y)的
14、轨迹C的方程；答案：解：由题意，A(x,0)，B(1，y)，则=(x，0)，=(1，y)代入=0中，得： (2)设D(0，-1)，上述轨迹上是否存在M、N两点，满足|=|且直线MN不平行于y轴，若存在，求出MN所在直线在y轴上截距的取值范围，若不存在，说明理 3 已知点F(1，0)，直线l:x=2，设动点P到直线l的距离为d，已知|PF|=(1)求动点户的轨迹方程； 答案：设P(x，y)，=1，P的轨迹为以(1，0)为焦点，以l：x=2为对应准线的椭圆且 =-c=1，解得a=，c=1，b=1又d,|2-x|，解得x，P的轨迹方程为+y2=1(x)(2)若的夹角； 答案：=(1-x，-y)，=(
15、1，0)，=(x，y)=(1-x,)1+(-y)0=1-x=，x=，代入的夹角为arccos(3)如图，若点C满足=2，点M满足=3PF，且线段MG的垂直平分线经过P，求PGF的面积答案：由已知|；2|，G为左焦点又 又|=2，|2+|2=|2， PGF为Rt，S=易错点4 解斜三角形 1(2012模拟题精选)在ABC中，sinA+cosA=AB=3，求tanA的值和ABC的面积【正确解答】 解法1sinA+cosA=180，A-45=60，得A=105 tanA=tan(45+60)=-2-，sinA=sin(45+60)= ,SABC= 解法2 sinA+cosA=又0A0,cosA0,
16、(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=sinA-csoA=,解得sinA=,cosA=sinA=.2.(2012模拟题精选)设P是正方形ABCD内部的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别为1、2、3，则正方形的边长是 .【错误答案】 设边长为xABP=则CBP=90-，在ABP中ABP=cosCBP=sin, =1,【正确答案】依题意c=1,a=2,由正弦定理知,C的取值范围是00，cosA0即m22，由及(1)可得 y=y1+y2=x=x1+x2=(my1-2)+(my2-2)=- P的坐标为，消去m得 x2+2y2+4x=0(-2x0)P的轨迹方程为x2+2y2+4x=0(-2
17、0b0)，交于PQ两点，直线l与y轴交于点K，且，求直线与双曲线的方程难点2平面向量为背景的综台题 1设过点M(a,b)能作抛物线y=x2的两条切线MA、MB，切点为A、B (1)求； (2)若=0，求M的轨迹方程； (3)若LAMB为锐角，求点M所在的区域【解析】 设切点坐标，利用导数求出切线的斜率，将转化为坐标运算，结合韦达定理求解【答案】 (1)设抛物线上一点P(t，t2)，y=x2，y= 2x，切点为P的切线方程是：2已知=(1，1)，=(1，5)，=(5，1) 若=x，y=(x，yR) (1)求y=f(x)的解析式； (2)把f(x)的图像按向量a=(-3，4)平移得到曲线C1，然后
18、再作曲线C，关于直线y=x，的对称曲线C2，设点列P1，P2，Pn在曲线C2的x轴上方的部分上，点列Ql，Q2Qn是x轴上的点列，且OQ1P1，Q1Q2P2,Qn-1QnPn都是等边三角形，设它们的边长分别为a1，a2，an，求Sn=a1+a2+an的表达式【解析】 将都用x表示，再利用数量积的坐标运算，可求解(1)，第(2)问关键是找an的递推关系式，进而求an的通项，求Sn【答案】 (1) y= f(x)=x2-6x+5 (2)将y=f(x)的图像按a=(-3，4)平移得到曲线C1， C1:y=x2，而C1关于y=x对称曲线是C2：y2=x，在x轴上方的方程为y=， 由已知Qn-1(Sn-
19、1，0)，Pn(Sn-1+ )， 又Pn在y=上 =Sn-1+an， 两式相减得： (a-a)=(an+an+1)， 又an+1an an+1-an=，又可求得a1=，【典型习题导练】 1 已知O、A、M、B为平面上四点，且+(1-)，A(1，2)，则 ( ) A.点M在线段AB上 B点B在线段AM上 B.点A在线段BM上 DO、A、M、B四点共线 答案： B 解析：由=+(1-)，得=(-)， = ，又(1，2)， 点B在线 段AM上， 选B2已知ABC中，=a，=b,ab0，SABC=，|a|=3，|b|1=5，则a与b的夹角为 ( ) A30 B-150C150 D30或150 答案：
20、C 解析：SABC=|a|b|sinC=， 又|a|=3，|b|=；5 sinC=，又ab=|a|，|b|cosC0，b0)的左、右焦点，O为坐标原点，户为双曲线的左支上的点，点M在右准线上，且满足. (1)求此双曲线的离心率e；答案：由得四边形F1OMP为平行四边形， =为菱形，| =C，由双 曲线的定义有+2a，=2a+c又=c， =e，解得e=2， (2)若此双曲线过N(2,)，求双曲线的方程；答案：可设双曲线方程为=1，又过N(2，)， a2=3,双曲线的方程为=1(3)在(2)的条件下，B1、B2分别是双曲线的虚轴端点(B1在y轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且 时，直线AB的方程
21、 答案：由已知B2在AB上，可设AB的方程为y=kx-3，又，B1B的方程为y=-x+3解得B ()，又B在=1上， 9()2-3()2-27=0， 解得k=1，AB的方程为y=(1)x-312 已知等轴双曲线C：x2-y2=a2(a0)上一定点P(x0，y0)及曲线C上两动点A、B满足(-)(-)=0(其中O为原点) (1)求证：()()=0；答案：设A(x1，y1)、B(x2，y2)， A、B、P在双曲线上， (x1-x0)(x1+x0)=(y1-y0)(y1+y0) (1)，(x2-x0)(x2+x0)=(y2-y0)(y2+y0) (2)，(1)(2)得(x1-x0)(x2-x0)(x
22、1+x0)(x2+x0)=(y， -y0)(y2-y0)(y1+y0)(y2+y0)，(3)，又(- )(-)=0，(x1-x0)(x2-x0)= -(y1-y0)(y2-y0) (4)，将(4)代人(3)中得(x1+x0) (x2+x0)+(y1+y0)(y2+y0)=0 (+)(+)=0；(2)求|AB|的最小值 (2)设BAC=，且cos(+x)=，-x-x-答案：由cos=，(0，)得=，cos(+x，)=cos(+x)=，则sin(+x)=，而一x，如果0+x，则sin(+x)sin故sin(+x)=-sinx=sin()=-14 如图6-8，已知ABC的三边分别为a,b,c,A为圆心，直径PQ=2r问P、Q在什么位置时， 有最大值？答案：解：设BAC=，PA的延长线与BC的延长线交于D，PDB=Q，则bccos-r2+racos，a，b，c，r均为定值，只需cos=1，即PQBC时， 、最大