1、第 4 讲 不等式选讲【高考真题感悟】(2011课标全国)设函数 f(x)|xa|3x，其中 a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)3x2 的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1，求 a 的值解(1)当 a1 时，f(x)3x2 可化为|x1|2.由此可得 x3 或 x1.故不等式 f(x)3x2 的解集为x|x3 或 x1(2)由 f(x)0 得|xa|3x0.此不等式化为不等式组xa，xa3x0 或xa，ax3x0，即 xa，xa4或x0，所以不等式组的解集为x|xa2由题设可得a21，故 a2.考题分析 本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和转化与化归思想
2、的应用，体现了对考生运算求解能力的考查题目难度中档易错提醒(1)不等式的解集要以集合的形式表示(2)由 f(0)0 转化为|xa|3x0，易忽视对 xa0，xaa(a0)f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)2；(2)求函数 yf(x)的最小值解(1)方法一 令 2x10，x40 分别得x12，x4.原不等式可化为：x2或12x2或x4x52原不等式的解集为x|x53.方法二 f(x)|2x1|x4|x5 (x12)3x3 (12x2 的解集为x|x53.(2)由(1)的方法二知：f(x)min92.探究提高 这类不等式的解法是高考的热点(1)用零点分段法解绝对值不等式的
3、步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法变式训练 1 设函数 f(x)|x1|xa|.(1)若 a1，解不等式 f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，f(x)2x，x1.作出函数 f(x)|x1|x1|的图象由图象可知，不等式的解集为x|x32或x32.(2)若 a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若 a1，f(x)2xa1，xa，1a，ax1
4、，f(x)2xa1，x1，a1，1x0，求证：3a32b33a2b2ab2；(2)a68b6 127c62a2b2c2；(3)a24b29c22ab3ac6bc.证明(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ab)(ab)(3a22b2)ab0，ab0,3a22b20.(ab)(3a22b2)0.3a32b33a2b2ab2.(2)a68b6 127c633827a6b6c6323a2b2c22a2b2c2，a68b6 127c62a2b2c2.(3)a24b22 a24b24ab，a29c22 a29c26ac，4b29c22 4b29c212bc，2a28b218c24a
5、b6ac12bc，a24b29c22ab3ac6bc.探究提高(1)作差法应该是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤是：作差；分解因式；与 0比较；结论关键是代数式的变形能力(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明变式训练 2 已知 a，b，c 均为正数，证明：a2b2c2(1a1b1c)26 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立证明 方法一 因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得a2b2c23(abc)，1a1b1c3(abc)，所以(1a1b1c)29(abc).故 a2b2c2(1a1b1c)23(abc)9(abc).又 3(abc)9(abc)2
6、 276 3，所以原不等式成立23132323232323当且仅当 abc 时，式和式等号成立当且仅当 3(abc)9(abc)时，式等号成立故当且仅当 abc3 时，原不等式等号成立方法二 因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以 a2b2c2abbcac.同理 1a2 1b2 1c2 1ab 1bc 1ac，故 a2b2c2(1a1b1c)2abbcac 3ab 3bc 3ac6 3.所以原不等式成立当且仅当 abc 时，式和式等号成立，当且仅当 abc，(ab)2(bc)2(ac)23 时，式等号成立故当且仅当 abc3时，原不等式等
7、号成立23231414题型三 利用基本不等式或柯西不等式求最值例 3 已知 a，b，cR，且 abc1，求 3a1 3b1 3c1的最大值解 方法一 利用基本不等式(3a1 3b1 3c1)2(3a1)(3b1)(3c1)2 3a1 3b12 3b1 3c12 3a1 3c1(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18，3a1 3b1 3c13 2，(3a1 3b1 3c1)max3 2.方法二 利用柯西不等式(121212)(3a1)2(3b1)2(3c1)2(1 3a11 3b11 3c1)2(3a1 3b1
8、 3c1)233(abc)3又abc1，(3a1 3b1 3c1)218，3a1 3b1 3c13 2，当且仅当 3a1 3b1 3c1时，等号成立(3a1 3b1 3c1)max3 2.探究提高 利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立变式训练 3 已知 abc1，ma2b2c2，求 m 的最小值解 方法一 abc1，a2b2c22ab2bc2ac1，又a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，2(a2b2c2)2ab2ac2bc，1a2b2c22ab2bc2ac3(a2b2c2)，a2b2c213
9、.当且仅当 abc 时，取等号，mmin13.方法二 利用柯西不等式(121212)(a2b2c2)(1a1b1c)abc1.a2b2c213，当且仅当 abc 时，等号成立mmin13.规律方法总结 1绝对值不等式|a|b|ab|a|b|.重点是含绝对值不等式的解法2不等式的性质，特别是基本不等式链：11a1b abab2 a2b22(a0，b0)在不等式的证明和求最值中经常用到3不等式证明的常用方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法名师押题我来做 1已知关于 x 的不等式|ax2|axa|2(a0)(1)当 a1 时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解
10、集为 R，求实数 a 的取值范围押题依据 对不等式选讲的考查有两个热点，一个是有关绝对值不等式，一个是有关不等式的证明本题既考查了绝对值不等式的解法，又考查了绝对值不等式的性质故押此题押题级别 解(1)当 a1 时，不等式为|x2|x1|2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到 1、2 的距离之和大于等于 2.x52或 x12.不等式的解集为x|x12或x52.注：也可用零点分段法求解(2)|ax2|axa|a2|，原不等式的解集为 R 等价于|a2|2，a4 或 a0，又 a0，a4.2求证：x4y412xy(xy)2.押题依据 不等式证明是不等式选讲中常考的题目类型题目难度不大，重在考查学生的推理能力及常用的证明方法本题体现了分析法和综合法的特点，故押此题押题级别 证明 用分析法：x4y412xy(xy)22(x4y4)x3yxy32x2y2x4y42x2y2 x4y4x3yxy3由基本不等式知显然成立，下面证明不等式.用比较法：(x4y4)(x3yxy3)x3(xy)y3(xy)(xy)(x3y3)(xy)2(x2xyy2)(xy)2xy223y24 0.x4y4x3yxy3，故 x4y412xy(xy)2.返回
