1、利用导数研究函数的极值、最值一、选择题1函数y在0，2上的最大值是() ABC0DA易知y，x0，2，令y0，得0x1，令y0，得1x2，所以函数y在0，1上单调递增，在(1，2上单调递减，所以y在0，2上的最大值是ymax，故选A2(2021宁波质检)下列四个函数中，在x0处取得极值的函数是()yx3；yx21；yx33x2；y2xABCDD对于，y3x20，故不是；对于，y2x，当x0时，y0，当x0时，y0，当x0时，y0，故是；对于，y3x26x3x(x2)，当x0时，y0，当0x2时，y0，当x0时，y0，故是；对于，由y2x的图像知，不是故选D3如图是函数yf (x)的导函数yf
2、(x)的图像，给出下列命题：3是函数yf (x)的极小值点；1是函数yf (x)的极小值点；yf (x)在x0处的切线的斜率小于零；yf (x)在区间(3，1)上单调递增则正确命题的序号是()ABCDA由图可知x3时，f (x)0，x(3，1)时f (x)0，3是f (x)的极小值点，正确；又x(3，1)时f (x)0，f (x)在区间(3，1)上单调递增，故不正确，正确函数yf (x)在x0处的导数大于0，yf (x)在x0处的切线的斜率大于0不正确故选A4若x1是函数f (x)axln x的极值点，则()Af (x)有极大值1Bf (x)有极小值1Cf (x)有极大值0Df (x)有极小值
3、0Af (x)axln x，x0，f (x)a，由f (1)0得a1，f (x)1由f (x)0得0x1，由f (x)0得x1，f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减f (x)极大值f (1)1，无极小值，故选A5已知f (x)2x36x2m(m为常数)在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是()A37B29C5D以上都不对Af (x)6x212x6x(x2)，f (x)在(2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，x0为极大值点，也为最大值点，f (0)m3，m3f (2)37，f (2)5最小值是37故选A6已知函数f (x)x33x29x1，若f (x)在区
4、间k，2上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A3，)B(3，)C(，3)D(，3D由题意知f (x)3x26x9，令f (x)0，解得x1或x3，所以f (x)，f (x)随x的变化情况如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f (x)00f (x)极大值极小值又f (3)28，f (1)4，f (2)3，f (x)在区间k，2上的最大值为28，所以k3二、填空题7设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_(，1)yexax，yexa函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，x0时，ex1，aex18已知函数f (x)ln xax存在最大值0，则
5、a_f (x)a，x0当a0时，f (x)a0恒成立，函数f (x)单调递增，不存在最大值；当a0时，令f (x)a0，解得x当0x时，f (x)0，函数f (x)单调递增；当x时，f (x)0，函数f (x)单调递减f (x)maxf ln 10，解得a9做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_3设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则VR2l27，l，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小由题意，SR22RlR22S2R，令S0，得R3，根据单调性得当R3时，S最小三、解答题10(2021北京高考)已知函数f (x)(1)若a0，求yf (x
6、)在(1，f (1)处的切线方程；(2)若函数f (x)在x1处取得极值，求f (x)的单调区间，以及最大值和最小值解(1)当a0时，f (x)，则f (x)当x1时，f (1)1，f (1)4，故yf (x)在(1，f (1)处的切线方程为y14(x1)，整理得y4x5(2)已知函数f (x)，则f (x)若函数f (x)在x1处取得极值，令f (1)0，则0，解得a4经检验，当a4时，x1为函数f (x)的极大值，符合题意此时f (x)，函数定义域为R，f (x)，令f (x)0，解得x11，x24f (x)，f (x)随x的变化趋势如下表：x(，1)1(1，4)4(4，)f (x)00f
7、 (x)极大值极小值故函数单调递增区间为(，1)，(4，)，单调递减区间为(1，4)极大值为f (1)1，极小值为f (4)又因为x时，f (x)0；x时，f (x)0，所以函数f (x)的最大值为f (1)1，最小值为f (4)11在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)(1)求y关于v的函数关系式；(2)若
8、cv15(c0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少解(1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为(升)，水底作业时的用氧量为100.99(升)，返回水面用时(单位时间)，用氧量为1.5(升)，因此总用氧量y9(v0)(2)y，令y0得v10，当0v10时，y0，函数单调递减；当v10时，y0，函数单调递增若c10，函数在(c，10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，当v10时，总用氧量最少若c10，则y在c，15上单调递增，当vc时，这时总用氧量最少1函数f (x)x33x1，若对于区间3，2上的任意x1，x2，都有|f (x1)f (x2)|t，则实数t的最小值是()A20B18
9、C3D0A原命题等价于对于区间3，2上的任意x，都有f (x)maxf (x)mint，f (x)3x23，当x3，1时，f (x)0，当x1，1时，f (x)0，当x1，2时，f (x)0f (x)maxf (2)f (1)1，f (x)minf (3)19f (x)maxf (x)min20，t20即t的最小值为20故选A2若x2是函数f (x)(x2ax1)ex1的极值点，则f (x)的极小值为()A1B2e3C5e3D1Af (x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1x2是f (x)的极值点，f (2)0，即(42a4a1)e30，得a1f (x)(x2x1)e
10、x1，f (x)(x2x2)ex1由f (x)0，得x2或x1；由f (x)0，得2x1f (x)在(，2)上单调递增，在(2，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f (x)的极小值点为1，f (x)的极小值为f (1)13已知函数f (x)aln x(a0)(1)求函数f (x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数a，使得函数f (x)在1，e上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解由题意，知函数的定义域为x|x0，f (x)(a0)(1)由f (x)0解得x，所以函数f (x)的单调递增区间是；由f (x)0解得x，所以函数f (x)的单调递减区间是所以当x时，函数f
11、(x)有极小值f aln aaaln a，无极大值(2)不存在理由如下：由(1)可知，当x时，函数f (x)单调递减；当x时，函数f (x)单调递增若01，即a1时，函数f (x)在1，e上为增函数，故函数f (x)的最小值为f (1)aln 111，显然10，故不满足条件若1e，即a1时，函数f (x)在上为减函数，在上为增函数，故函数f (x)的最小值为f (x)的极小值f aln aaaln aa(1ln a)0，即ln a1，解得ae，而a1，故不满足条件若e，即0a时，函数f (x)在1，e上为减函数，故函数f (x)的最小值为f (e)a0，解得a，而0a，故不满足条件综上所述，这
12、样的a不存在1若函数f (x)x33ax在区间(1，2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为_1，4)因为f (x)3(x2a)，所以当a0时，f (x)0在R上恒成立，所以f (x)在R上单调递增，f (x)没有极值点，不符合题意； 当a0时，令f (x)0得x，当x变化时，f (x)与f (x)的变化情况如下表所示：x(，)(，)(，)f (x)00f (x)极大值极小值因为函数f (x)在区间(1，2)上仅有一个极值点，所以或解得1a42已知函数f (x)2sin xsin 2x，则f (x)的最小值是_f (x)的最小正周期T2，求f (x)的最小值相当于求f (x)在0，2上的最小
13、值f (x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)4cos2x2cos x22(2cos x1)(cos x1)令f (x)0，解得cos x或cos x1，x0，2由cos x1，得x；由cos x，得x或x函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f ()2sin sin 20，f 2sin sin ，f ，f (0)0，f (2)0，f (x)的最小值为3(2019全国卷)已知函数f (x)2x3ax2b(1)讨论f (x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f (x)在区间0，1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由解(1)f
14、 (x)6x22ax2x(3xa)令f (x)0，得x0或x若a0，则当x(，0)时，f (x)0；当x时，f (x)0故f (x)在(，0)，单调递增，在单调递减若a0，f (x)在(，)单调递增若a0，则当x(0，)时，f (x)0；当x时，f (x)0故f (x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在当a0时，由(1)知，f (x)在0，1单调递增，所以f (x)在区间0，1的最小值为f (0)b，最大值为f (1)2ab此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1当a3时，由(1)知，f (x)在0，1单调递减，所以f (x)在区间0，1的最大值为f (0)b，最小值为f (1)2ab此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1当0a3时，由(1)知，f (x)在0，1的最小值为f b，最大值为b或2ab若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1，2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当且仅当a0，b1或a4，b1时，f (x)在0，1的最小值为1，最大值为1