1、12余弦定理(2)1.掌握余弦定理在几何问题、实际问题中的运用2.初步体会正弦定理和余弦定理的综合运用,学生用书P8)1正弦定理2R.2正弦定理的几个变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(2)sin A，sin B，sin C(3)abcsin Asin Bsin C(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A，3余弦定理及其变形a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos Ccos A，cos B，cos C1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)公式Sabsin C适合
2、求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()解析：(1)正确，Sabsin C适合求任意三角形的面积(2)错误已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积(3)正确，已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得第三边和两个角，再求面积答案：(1)(2)(3)2在ABC中，已知a9，b2，C150，则c_解析：由余弦定理得：c7.答案：73在ABC中，已知BC1，B，则ABC的面积为，则AC的长为_解析：由三角形面积公式得acsin B，解得c4，再由余弦定理得b211621413，所以AC的
3、长为.答案：余弦定理在几何图形中的运用学生用书P8如图所示，已知在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长【解】设BDx，在ABD中，由余弦定理有AB2AD2BD22ADBDcosADB，即142x210220xcos 60，所以x210x960，所以x16(x6舍去)，即BD16.在BCD中，由正弦定理，所以BC8.余弦定理在几何图形中的应用，要注意结合图形，有时要利用图形性质求解 1. 如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2ABBD，BC2BD，则sin C的值为_解析：设ABc，则ADc，BD，BC，在ABD中，由余弦定理得cos
4、A，则sin A.在ABC中，由正弦定理得，解得sin C.答案：余弦定理的实际应用学生用书P9在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离【解】法一：因为ADCADBCDB60，又因为ACD60，所以DAC60.所以ADCDACa.在BCD中，DBC1803010545，由正弦定理得，所以BDCDaa.在ADB中，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcos ADBa22aaa2，所以ABa.所以蓝方这两支精锐部队的距离为a.法二：同法一，
5、得ADDCACa.在BCD中，DBC45，由正弦定理得，所以BCa，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 45a2a22aaa2，所以ABa.所以蓝方这两支精锐部队的距离为a.日常生活中，测量距离问题通常有两种情况种类图示解决方法一点不可到达可测出三角形两个角(A、C)和一边(AC)，直接运用正弦定理求AB两点均不可到达可测、及CD.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，先把求未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题(如图所示)，然后在ABC中求解AB 2.如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A
6、点测得海面上油井P在南偏东60方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30方向，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离解：因为AB40，BAP120，ABP30，所以APB30，所以AP40，所以BP2AB2AP22APABcos 120402402240404023，所以BP40.又PBC90，BC80，所以PC2BP2BC2(40)280211 200，所以PC40 海里证明三角恒等式学生用书P9在ABC中，求证：.【证明】右边cos Bcos A左边所以.在三角形中，涉及边角关系的恒等式，可以考虑用正、余弦定理把角的关系转化为边的关系或统一由边的关系
7、转化为角的关系 3.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，求证：acos2ccos2(abc)证明：因为sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理可得acos Cccos Ab，所以acos2ccos2(acacos Cccos A)(abc)三角形中的综合问题学生用书P10ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长【解】(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)s
8、in C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知，absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5. 解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解 (2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
9、已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求证：b2ac；(2)若a1，c2，求ABC的面积S.解：(1)证明：在ABC中，由于sin B(tan Atan C)tan Atan C，所以sin B，因此sin B(sin Acos Ccos Asin C)sin Asin C，所以sin Bsin(AC)sin Asin C.又ABC，所以sin(AC)sin B，因此sin2Bsin Asin C.由正弦定理得b2ac.(2)因为a1，c2，所以b，由余弦定理得cos B，因为0B，所以sin B，故ABC的面积Sacsin B12.1余弦定理指出了三角形的三条边与
10、其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量2在已知两边与其中一边的对角时，即可先用余弦定理求边，再继续求解；也可以先用正弦定理求另一边的对角，再继续求解而用余弦定理先求第三边的好处是只需保证边为正来判断解的个数3因为余弦定理给出的是三边与一个角的余弦值之间的关系，而余弦值的正负可以决定该角是锐角还是钝角，因此利用余弦定理及其推论来判定三角形的形状时，我们一般是通过计算最大边所对应的最大角的余弦值，即两个小边的平方和与最大边的平方的差的正负，来判断该角是锐角还是钝角即在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C
11、为锐角；c2a2b2C为钝角有时也会和正弦定理结合同化为边或同化为角观察在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围解(1)由已知得cos(AB)cos Acos Bsin Acos B0，即有sin Asin Bsin Acos B0.因为sin A0，所以sin B cos B0.又cos B0，所以tan B.又0B，所以B.(2)由余弦定理，有b2a2c22accos B.因为ac1，cos B，有b23.又0a1，于是有b21，即有b0.答案：锐角3在ABC中，已知A30，且3
12、ab12，则c_.解析：a4，b4，cos A，解得c4或c8.答案：4或8,学生用书P75(单独成册)A基础达标1ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2b2与c2的大小关系为_解析：cos C，因为C为钝角，所以cos C0，所以a2b2c20，故a2b2c2.答案：a2b20)则aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC中，由ABC，得sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C.(2)由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A，所以sin A.由第一问，知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B，故tan B4.