1、章末复习提升课,学生用书P14),学生用书P15)1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形形式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C；cos A；cos B；cos C2三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)1解三角形中易忽视的三点(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围；
2、(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补情况；(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情况2三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理，得sin B.若sin B1，无解；若sin B1，一解；若sin B1，一解或两解(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2c2b22cbcos A，即c2(2bcos A)cb2a20，这是关于c的一元二次方程若方程无
3、解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解, 学生用书P15)利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用
4、余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小解(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以，B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S，得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因为sin B0，所以sin Ccos B，又B，C(0
5、，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.利用正、余弦定理判断三角形的形状判断三角形的形状是一种常见的题型，其基本原则是化边为角或化角为边，实现边角的统一，而达到这一目标的工具就是正弦定理和余弦定理，在具体问题中，关键是利用条件寻找边的关系或角的关系一般地，运用正弦定理化边为角，利用余弦定理化角为边有时已知中边角都有，可同时运用两个定理进行边角互化，以达到化异为同的效果注意在对三角关系式变形时，常用到内角和定理和诱导公式若同化为边，一般要因式分解：由边相等得等腰或由勾股定理和逆定理得直角或由余弦值的正、负、零来判断角是锐角、钝角或直角在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC
6、的形状解法一：由正弦定理，得2sin Bsin Asin C.因为B60，所以AC120.所以2sin 60sin(120C)sin C.展开整理得sin Ccos C1.所以sin(C30)1.因为0C0)，则a2t，b3t，c4t，cos B.答案：3甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东方向前进，才能尽快追上乙船，此时_解析：设乙船的速度是v海里/小时，t小时后甲船在C处追上乙船(如图)，则由题意得甲船的速度是v海里/小时在ABC中，ABa，ACvt，BCvt，ABC120.由正弦定理知，sinBAC.又0B
7、AC90，所以BAC30，60BAC30.答案：304在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos Cbcos Cccos Bccos A，且C120.(1) 求角A；(2) 若a2，求c.解：(1)由正弦定理及acos Cbcos Cccos Bccos A得sin Acos Csin Bcos Csin Ccos Bsin Ccos A，所以sin (AC)sin (BC)因为A，B，C是三角形的内角，所以ACBC，所以AB.因为C120，所以A30.(2)由(1)知ab2，所以c2a2b22abcos C44222cos 12012，所以c2.5如图所示，港口A北偏东30方向的C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31 n mile，该轮船从B处沿正西方向航行20 n mile后到达D处，测得CD为21 n mile，问此时轮船离港口A还有多远？解：由条件知A60，设ACD，CDB，在BCD中，由余弦定理得，cos ，所以sin ，sin sin(60)sin cos 60cos sin 60，在ADC中，由正弦定理得，所以AD15(n mile)，此时轮船离港口A还有15 n mile.