1、第 2 讲 函数、基本初等函数的图象与性质【高考真题感悟】(2011江苏)已知实数 a0，函数 f(x)2xa，x1，x2a，x1.若 f(1a)f(1a)，则 a 的值为_解析 首先讨论 1a,1a 与 1 的关系，当 a1,1a0 时，1a1，所以 f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a3a1.因为 f(1a)f(1a)，所以 2a3a1，所以 a32(舍去)综上，满足条件的 a34.答案 34考题分析 本小题考查分段函数的求值、解方程等基本知识，考查学生分类讨论思想的应用体现了以知识为载体，重点考查数学思想和方法的高考理念易错提醒(1)考生不能确定分类标准致误(2)计算错误主
2、干知识梳理 1函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数2函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换3函数的性质(1)单调性如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2，且 x1x2，都有 f(x1)f(x2)成立，则 f(x)在 D 上是减函数)(2)奇偶性对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称)，都有 f(x)f(x)成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(x)f(x)成立，则
3、f(x)为偶函数)(3)周期性周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件：当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x)；T 是不为零的最小正数(4)最值一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有 f(x)M(f(x)M)；存在 x0I，使 f(x0)M，那么称 M 是函数 yf(x)的最大值(最小值)4函数单调性的判定方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，作答其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解(2)导数法(3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则5函数奇偶性的判定方法(1)定义域关于原点对称是函数具有
4、奇偶性的必要条件(2)对于定义域内的任意一个 x，若都有 f(x)f(x)，则 f(x)为偶函数；若都有 f(x)f(x)，则 f(x)为奇函数；若都有 f(x)f(x)0，则 f(x)为偶函数；若都有 f(x)f(x)0，则 f(x)为奇函数6指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数定义形如 yax(a0 且a1)的函数叫指数函数形如ylogax(a0且a1)的函数叫对数函数图象定义域Rx|x0值域y|y0R过定点(0,1)(1,0)单调性0a1 时，在 R 上单调递增0a1 时，在(0，)上单调递增0a0 时，0y1；当 x10a1 时，y0；当 0 x0函数值性质a1，当 x0 时
5、，y1；当 x0 时，0y1，当 x1 时，y0；当 0 x1 时，y0热点分类突破 题型一 函数的基本性质及应用例 1(典题新编)已知函数 f(x)|lg x|，若 0ab，且 f(a)f(b)，则 a2b 的取值范围是_解析 由 f(a)f(b),0ab 得 lg alg b，从而有 ab1，且 0a3.(3，)探究提高 本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，在做本题时极易忽视 a 的取值范围，而利用基本不等式求得 a2b，从而错填 2 2，这也是命题者的用心良苦之处变式训练 1 已知函数 f(x)|log2x|，正实数 m，n 满足 mn，且 f(m)f(n)，若 f(
6、x)在区间m2，n上的最大值为 2，则 nm_.解析 因为 0mn 且 f(m)f(n)，所以 0m1n，且 m1n.因为 f(x)在区间m2，n上的最大值为 2，所以最大值为 f(m2)|log2m2|2，所以 m214，因为 0m0)，若 f(4)f(0)，f(2)2，求关于 x 的方程 f(x)x 的解的个数.思维启迪 由两个已知条件求出 b，c，再利用函数图象或解方程求解解 方法一 由 f(4)f(0)，f(2)2，可得164bcc，42bc2，b4，c2，f(x)x24x2(x0)，2 (x0)，方程 f(x)x 等价于x0，xf(x)2，或x0，x24x2x.即 x2，或x0，x2
7、3x20.x2，或 x1，或 x2，即 f(x)x 有 3 个解方法二 由 f(4)f(0)，f(2)2，可得 b4，c2.f(x)x24x2(x0)，2 (x0)，图象如图所示方程 f(x)x 解的个数即 yf(x)与 yx 图象的交点个数由图知两图象有 A、B、C 三个交点，故方程有 3 个解探究提高 函数的图象从直观上很好地反映出了函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容易出错变式训练 2 已知函数 f(x)2x2，则函数 y|f(x)|的图象可能是_(填序号)
8、解析 函数 f(x)2x2是把函数 y2x的图象向下平移两个单位得到的图象，由 2x20 得 x0；当 x(，3)(2，)时，f(x)0.(1)求 f(x)在0,1内的值域；(2)c 为何值时，不等式 ax2bxc0 在1,4上恒成立？思维启迪 利用数形结合，3,2 是方程 ax2(b8)xaab0 的两根，求出 a，b 的值，得 f(x)的解析式，进而确定 f(x)在0,1内的值域，然后利用函数 g(x)ax2bxc 的性质，确定 c.解 由题意得 x3 和 x2 是函数 f(x)的零点且 a0，则0a(3)2(b8)(3)aab，0a22(b8)2aab，解得a3，b5，f(x)3x23x
9、18.(1)如图所示，由图象知，函数在0,1内单调递减，当 x0 时，y18；当 x1 时，y12，f(x)在0,1内的值域为12,18(2)方法一 令 g(x)3x25xc.g(x)在56，)上单调递减，要使 g(x)0 在1,4上恒成立，则需要 g(x)maxg(1)0，即35c0，解得 c2.当 c2 时，不等式 ax2bxc0 在1,4上恒成立方法二 不等式3x25xc0 在1,4上恒成立，即 c3x25x 在1,4上恒成立令 g(x)3x25x，x1,4，且 g(x)在1,4上单调递增，g(x)ming(1)312512，c2.即 c2 时，不等式 ax2bxc0 在1,4上恒成立探
10、究提高(1)确定函数 f(x)在a，b上的值域必须首先探求函数 f(x)在其定义域内的单调情况，若 f(x)是基本初等函数，则可直接利用它的图象和性质求解，若 f(x)为其他函数，可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域(2)不等式恒成立问题的常见解法：数形结合法；分离参数与主元变式训练 3 设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x0，求实数 a 的取值范围解 当 a0 时，f(x)ax1a221a.1a1f(1)a220或11a0 或1a4f(4)16a820，a1a0 或14a12或a14a38 a1 或12a12，当 a12.规律方法总结 1定义域、值域和对应关系是决定函数的三个
11、要素，是一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先”2单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法对于填空题，也可用一些命题，如两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数3函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径4函数图象是函数的一种直观形象的表示，是函数部分运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、用图三个基本问题5函数图象的对称性(1)若函数
12、yf(x)满足 f(ax)f(ax)，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关于直线 xa 对称(2)若 f(x)满足 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于直线 xab2 对称(3)若函数 yf(x)满足 f(x)2bf(2ax)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称6二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中7指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单
13、调性有关的问题时，首先要看底数 a 的范围对于幂函数，掌握好考纲中列出的五种常用的幂函数即可8解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用名师押题我来做 1设定义在2,2上的偶函数 f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)则实数 m 的取值范围是_押题依据 利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考的热点本题恰当地应用了函数的单调性同时考查了函数的奇偶性的性质，但要求不高故押此题押题级别 解析 f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)，不等式 f(1m)f(m)f(|1m|)|m|21m22m2，解得1m0，若 f(x0)2，则 x0的取值范围是_押题依据 分段函数，基本初等函数是近年来高考的热点本题以分段函数的形式考查了指数函数，函数的单调性考查了转化与化归和分类讨论的数学思想方法，故押此题押题级别 解析 当 x00 时，f(x0)2 化为12 2，即12 121，x01.当 x00 时，f(x0)2 化为 log2(x02)2，即 log2(x02)log2 4，x024，x02,x0 的取值范围是(，12，)答案(，12，)x0 x0返回