1、阳朔中学2022年秋季学期高二年级数学期中考试卷注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1直线的倾斜角为（）ABCD2在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）ABCD3抛物线的焦点到准线的距离为（）A4B2C1D4已知圆：与圆：，则两圆的位置关系（）A相交B相离C外切D内切5若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（）Am5Bm4Cm4或m5D4m56已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（）ABCD7已知过点的直线与圆交于两点，则当弦最短时直线的方程为（）ABCD8已知，动
2、点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（）ABCD二、多选题（每题5分，共20分）9已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（）A的倾斜角等于B在轴上的截距等于C与直线垂直D上的点与原点的距离最小值为10如图，在平行六面体中，AC和BD的交点为O，设，则下列结论正确的是（）ABCD11已知曲线C：，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A若，则曲线C的渐近线方程为B若，则曲线C的离心率C若，P为C上一个动点，则的最大值为5D若，P为C上一个动点，则 面积的最大值为12已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，
3、垂线分别为，则下列说法错误的是（）A抛物线的方程为B线段的长度为CD线段的中点到轴的距离为第II卷（非选择题）三、填空题（每题5 分，共20分）13双曲线 = 1的右焦点F到其中一条渐近线的距离为_.14若向量(1，1，x)，(1，2，1)，(1，1，1)满足条件，则x_15已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为_16在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_四、解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分）17分别求出满足下列条件的直线的方程：(1)经过直线和的交点，且与直
4、线垂直；(2)过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的4倍18已知，；(1)若，求实数的值；(2)若，且，求的坐标19 (1) 求过点且与圆相切的切线方程.(2) 已知圆，过点作直线与圆交于，两点，且，求直线的方程20已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且（1）求的值；（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程21已知椭圆的左右焦点分别为和，长轴长为8，直线被椭圆截得的弦长等于2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求OAB的面积.22已知双曲线的离心率为，点在上.(1)求双曲线的方程.(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，
5、使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.参考答案：1A 2D 3C 4C 5D 6D.7A因为直线过定点，由，则圆心，半径，当时，弦最短，此时直线的斜率，所以直线的斜率，故直线为，则.8A 点B关于直线对称的点为,当且仅当当A、P、三点共线时，等号成立此时取最小值，直线的方程为，即，令，得 所以点P的坐标为：9AC 直线的方向向量为，则斜率，故直线为，即，对A， ，故，A对；对B，由得，B错；对C，直线斜率，由得与直线垂直，C对；对D，上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的距离，即，D错；10AC 选项A：.判断正确；选项B：.判断错误； 选项C：.判断正确；选
6、项D：.判断错误.11BCD 对于选项A，若，曲线C：表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为，A错误；对于选项B，若，曲线C：，则 离心率，B正确；对于选项C，若，曲线C：， ，根据椭圆的性质，PF1的最大值为，C正确；对于选项D，若，曲线C：，此时a3，根据椭圆的性质， 面积的最大值为，D正确；12BD 由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，又经过的焦点，故，可得，即抛物线方程为：，A正确由，可得，解得或，可得，所以，B错误由以上分析可知，可得，则，即，C正确因为，故线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，D错误，13 142155 抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为
7、，则，当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.16点F1、F2分别是椭圆1（ab0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，F1（c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），是锐角三角形，AF1 F245，tanAF1 F21，1，得b22ac，a2c22ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e10，解得e1，或e1，（舍），0e1，椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）17（1）由，解得和的交点为的斜率为，而直线l与直线垂直，直线l的斜率为，直线l的方程为，即（2）当l在x轴和y轴上的截距均为0时，可设l的方程为，把点代入可得，此时直线l的
8、方程为；当l在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设l的方程为，把点代入可得，得，此时直线l方程的一般式为综上可得l的方程为或18（1）由已知得，得，得（2）设，由，可得，得到，求得，则或19（1）因为，所以点在圆外，所以过点的切线有条，当直线的斜率不存在时：切线方程为，符合题意，当直线的斜率存在时，设过点的切线为，即，由可得圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，整理得：，所以切线方程为：，即.所以过点且与圆相切的切线方程为或（2） 因为，所以圆心到直线的距离为，当切线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为1，不满足题意；所以，设直线的方程为，所以，即，解得或，直线的方程为或20（1）由抛物线经过点可得：，又，可得，解得，；（2）由（1）知，则，设，根据点M为线段的中点，可得：，即，由点Q为抛物线C上，所以，整理可得点M的轨迹方程为.21（1）由令得，解得，所以，结合2a=8，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由解得或不妨设设，即，所以，原点到直线的距离为，所以.22（1）因为e=，所以，化简得.将点的坐标代入，可得，解得，所以的方程为.（2）设，直线的方程为，联立方程组，消去得（1-，由题可知且，即且，所以.设存在符合条件的定点，则，所以.所以，化简得.因为为常数，所以，解得.此时该常数值为，所以，在轴上存在点，使得=.
