1、2016-2017学年江苏省常州三中高三（上）10月调研数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上1集合A=1，0，2，B=2，3，4，则AB=2命题“xR，x2x1=0”的否定是命题（填“真”或“假”）3若角120的终边上有一点（4，a），则a的值是4函数f（x）=的定义域是5已知=（2，m），=（1，2m），则“m=1”是“”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）6设正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为5，则该四棱锥的体积为7设有两条直线m、n和两个平面、，下列四个命题中，正确
2、的是若m，n，则mn； 若m，n，m，n，则；若，m，则m；若，m，m，则m8已知函数f（x）=|x21|，若f（m21）f（2），则实数m的取值范围是9已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|的部分图象如图示，现将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，则平移后得到的函数解析式g（x）=10已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）x3的零点有 个11已知tan（+）=2，则=12在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60，E为CD的中点若=，则AB的长为13设正实数x，y满足xy=，则实数x的最小值为14已知函数f（x）=logax（a1），在定义
3、域m，n（nm）上的值域也为m，n，则实数a的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，已知AB=2，AC=3， =3（1）求BC的长；（2）求sin（C+）的值16如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点（1）求证：PD面AEC；（2）求证：平面AEC平面PDB17已知a0，函数g（x）=ax22ax+1+b在区间2，3，上有最大值4和最小值1（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）=在（1，0）上的单调性，并用单调性定义证明；（3）对于函数f（x）=，若不等式f（2x）k2x0在1，1上有解，
4、求实数k的取值范围18现需要设计一个仓库，它的上部是底面圆半径为5米的圆锥，下部是底面圆半径为5米的圆柱，且该仓库的总高度为5米经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/米2、1百元/米2（1）记仓库的侧面总造价为y百元，设圆柱的高为x米，试将y表示为关于x的函数y=f（x）；设圆锥母线与其轴所在直线所成角为，试将y表示为关于的函数y=g（）；（2）问当圆柱的高度为多少米时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？19设 a为实数，函数 f（x）=（xa）2+|xa|a（a1）（1）若f（0）1，求a的取值范围；（2）讨论 f（x）的单调性；（3）当a2 时，讨论f（x）+
5、 在区间 （0，+）内的零点个数20已知a0，f（x）=ax22x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0）处的切线（）求l的方程；（）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值；（）证明对任意的a=n（nN*），函数y=f（x）总有单调递减区间，并求出f（x）单调递减区间的长度的取值范围（区间x1，x2的长度=x2x1）2016-2017学年江苏省常州三中高三（上）10月调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上1集合A=1，0，2，B=2，3，4，则AB=2【考点
6、】交集及其运算【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=1，0，2，B=2，3，4，AB=2，故答案为：22命题“xR，x2x1=0”的否定是假命题（填“真”或“假”）【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果，判断真假即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“xR，x2x1=0”的否定是：xR，有x2x10因为=0，方程一定有两个根，所以命题的否定是假命题故答案为：假3若角120的终边上有一点（4，a），则a的值是4【考点】任意角的三角函数的定义【分析】利用任意角的三角函数的定义，求出它的正切值，即可得到a的值【解答】解：
7、由题意可知：tan120=，所以a=4故答案为：44函数f（x）=的定义域是6，1【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可【解答】解：由题意得：x25x+60，解得：6x1，故答案为：6，15已知=（2，m），=（1，2m），则“m=1”是“”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据向量的垂直的性质，求出的充要条件，从而判断结论【解答】解：=（2，m），=（1，2m），“”=22m2=0，解得：m=1，故“m=1”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必
8、要6设正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为5，则该四棱锥的体积为32【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出棱锥的高与底面面积，即可求解棱锥的体积【解答】解：正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为5，底面对角线长为：8所以棱锥的高为： =3所以棱锥的体积为：443=32故答案为：327设有两条直线m、n和两个平面、，下列四个命题中，正确的是若m，n，则mn； 若m，n，m，n，则；若，m，则m；若，m，m，则m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系【分析】由线面平行的定义与性质，得到是假命题；由面面平行的判定定理，得是假命题；由面面垂直的性质定理，得是假
9、命题；由面面垂直的性质与线面平行的判定，得是真命题由此可得本题答案【解答】解：对于，平行于同一个平面的两条直线的位置关系可能是相交、平行或异面，故由“m，n”，不一定得到“mn”，得是假命题；对于，若“m，n，m，n，且mn=O”，则“”成立，但条件中缺少了“mn=O”，故结论“”不一定成立，得是假命题；对于，若“，m，且m垂直于、的交线”，则“m”成立，但条件中缺少了“m垂直于、的交线”，故结论“m”不一定成立，得是假命题；对于，因为，m，所以“平面直线m”或“m”而条件中有“m”，故必定有“m”成立，得是真命题故答案为：8已知函数f（x）=|x21|，若f（m21）f（2），则实数m的取值
10、范围是（1，1）【考点】绝对值不等式的解法【分析】根据函数的表达式求出f（m21）和f（2）的值，得到关于m的不等式，解出即可【解答】解：f（x）=|x21|，故f（m21）=m4+2m2，f（2）=3，若f（m21）f（2），则m4+2m23，即（m2+3）（m21）0，解得：1m1，故答案为：（1，1）9已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|的部分图象如图示，现将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，则平移后得到的函数解析式g（x）=sin2x【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出，函
11、数过（，1），结合的范围，求出，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出g（x）解析式，【解答】解：由图象知A=1， T=，T=2，由sin（2+）=1，|，得+=，=，f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为g（x）=sin2（x）+=sin2x故答案为：sin2x10已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）x3的零点有2 个【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用【分析】函数g（x）=f（x）x3的零点个数即函数f（x）=的图象与函数y=x+3的图象的交点个数，数形结合，可得答案【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：由图可得函数f（x）的图象与函数y
12、=x+3的图象有2个交点，故函数g（x）=f（x）x3有两个零点故答案为：211已知tan（+）=2，则=【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】把已知的等式左边利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，得到关于tan的方程，求出方程的解得出tan的值，利用同角三角函数关系对进行变形并代入求值即可【解答】解：由tan（+）=2得到：tan（+）=2，解得tan=所以=故答案是：12在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60，E为CD的中点若=，则AB的长为【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件并结合图形可得到，这样代入进行数量积的运算即可得出，解该方程即可求出AB的长【解
13、答】解：根据条件：=；解得故答案为：13设正实数x，y满足xy=，则实数x的最小值为【考点】基本不等式【分析】正实数x，y满足xy=，变形为：4xy2+（22x2）y+x=0，可得：，解得即可得出【解答】解：正实数x，y满足xy=，变形为：4xy2+（22x2）y+x=0，解得：x23+2，x则实数x的最小值为1+故答案为：14已知函数f（x）=logax（a1），在定义域m，n（nm）上的值域也为m，n，则实数a的取值范围为【考点】对数函数的图象与性质【分析】根据对数函数的性质，f（x）=logax（a1），的定义域和值域均为m，n，那么f（x）与y=x的图象有两个交点，即方程f（x）x=0
14、有两个根利用导数研究单调性求解【解答】解：f（x）=logax（a1），的定义域和值域均为m，n，那么f（x）与y=x的图象有两个交点，即方程f（x）x=0有两个根设g（x）=f（x）x=logaxx则g（x）=，令g（x）=0 得 x=，当x在（0，）时，g（x）0，当x在（，+）时，g（x）0，所以当x=时，g（x）取得最大值logalnalogea由logalnalogea0 解得：故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，已知AB=2，AC=3， =3（1）求BC的长；（2）求sin（C+）的值【考点】正弦定理【分析】（1）由
15、题意利用平面向量数量积的运算可求cosA的值，结合A（0，），利用特殊角的三角函数值即可求得A的值，进而利用余弦定理可求BC的值（2）解法一：由正弦定理可求sinC的值，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cosC的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解解法二：由正弦定理可求sinC的值，再由余弦定理求得cosC的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解【解答】（本题满分为14分）解：（1），又A（0，），由余弦定理得=（2）解法一：由正弦定理得，即因为ABBC所以CA即角C为锐角，所以，所以=解法二：由正弦定理得即，再由余弦定理得=，所以=16如图，在四棱锥PABCD中，四边
16、形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点（1）求证：PD面AEC；（2）求证：平面AEC平面PDB【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）设ACBD=O，连接EO，证明PDEO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD面AEC（2）连接PO，证明ACPO，ACBD，通过POBD=O，证明AC面PBD，然后证明面AEC面PBD【解答】解：（1）证明：设ACBD=O，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以PDEO而PD面AEC，EO面AEC，所以PD面AEC（2）连接PO，因为PA=PC，所以ACPO，又四边形ABCD是菱形，所以ACBD而PO面PBD，BD面PB
17、D，POBD=O，所以AC面PBD又AC面AEC，所以面AEC面PBD17已知a0，函数g（x）=ax22ax+1+b在区间2，3，上有最大值4和最小值1（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）=在（1，0）上的单调性，并用单调性定义证明；（3）对于函数f（x）=，若不等式f（2x）k2x0在1，1上有解，求实数k的取值范围【考点】二次函数的性质【分析】（1）由已知中a0，函数g（x）=ax22ax+1+b在区间2，3上有最大值4和最小值1可得，解得：a，b的值；（2）由（1）知，g（x）=x22x+1，f（x）在（1，0）上单调减，由单调性定义可证明结论；（3）对于函数f（x）=，若不等式
18、f（2x）k2x0在1，1上有解，则当2x=t时，进而可得实数k的取值范围【解答】解：（1）g（x）=ax22ax+1+b=a（x1）2+1+ba，对称轴x=1a0，图象开口向上g（x）=ax22ax+1+b（a0）在区间2，3上单调增，即，解得；（2）由（1）知，g（x）=x22x+1，f（x）在（1，0）上单调减下面证明f（x）在（1，0）上单调减证明：任取x1，x2（1，0）且x1x2，=1x1x20，x1x20，0x1x21，x1x210，f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2），f（x）在（1，0）上的单调减（3），设2x=t，x1，1，f（2x）k2x0在x1，1有解，f（t）k
19、t0在有解，再令，则，k（m22m+1）max令h（m）=m22m+1=（m1）2，对称轴x=1，当m=2时，h（m）max=h（2）=1，k1，故实数k的取值范围（，1 18现需要设计一个仓库，它的上部是底面圆半径为5米的圆锥，下部是底面圆半径为5米的圆柱，且该仓库的总高度为5米经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/米2、1百元/米2（1）记仓库的侧面总造价为y百元，设圆柱的高为x米，试将y表示为关于x的函数y=f（x）；设圆锥母线与其轴所在直线所成角为，试将y表示为关于的函数y=g（）；（2）问当圆柱的高度为多少米时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？【考点】
20、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）由题可知，圆柱的高为x米，且x（0，5），利用制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/米2、1百元/米2，可将y表示为关于x的函数y=f（x）；设圆锥母线与其轴所在直线所成角为，即可将y表示为关于的函数y=g（）；（2）由，令，确定函数的单调性，即可得出结论【解答】解：（1）由题可知，圆柱的高为x米，且x（0，5），则该仓库的侧面总造价=，x（0，5）由题可知，圆锥母线与轴所在直线所成角为，且，则该仓库的侧面总造价=，（2）由，令，得，即，h（）0+h（）极小值不列表描述单调性，扣当时，h（）取得最小值，侧面总造
21、价y最小，此时圆柱的高度为米答：当圆柱的高度为米时，该仓库的侧面总造价最少19设 a为实数，函数 f（x）=（xa）2+|xa|a（a1）（1）若f（0）1，求a的取值范围；（2）讨论 f（x）的单调性；（3）当a2 时，讨论f（x）+ 在区间 （0，+）内的零点个数【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断【分析】（1）利用f（0）1，得到|a|+a10，对a分类讨论求解不等式的解集即可（2）化简函数f（x）的解析式，通过当xa时，当xa时，利用二次函数f（x）的对称轴求解函数的单调区间即可（3）化简F（x）=f（x）+，求出函数的导数，利用导函数的符
22、号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数【解答】解：（1）若f（0）1，即：a2+|a|a（a1）1可得|a|+a10，当a0时，a，可得a0，当a0时，|a|+a10，恒成立综上aa的取值范围：；（2）函数 f（x）=，当xa时，函数f（x）的对称轴为：x=a+a，y=f（x）在（，a）时是减函数，当xa时，函数f（x）的对称轴为：x=aa，y=f（x）在（a，+）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，当xa时， =，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数当xa时，因为a2，所以，F（x）=，所以，函数F（x）在（a，+）上是增函数F（a）=aa2+当a=2时，F（2
23、）=0，此时F（x）有一个零点，当a2时，F（a）=aa2+，F（a）=12a=所以F（ah）在（2，+）上是减函数，所以F（a），即F（a）0，当x0且x0时，F（x）+；当x+时，F（x）+，所以函数F（x）有两个零点综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a2时F（x）有两个零点20已知a0，f（x）=ax22x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0）处的切线（）求l的方程；（）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值；（）证明对任意的a=n（nN*），函数y=f（x）总有单调递减区间，并求出f（x）单调递减区间的长度的取值范围（区间x1，x2的长度
24、=x2x1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（）根据点P（0，f（0）为切点，求出f（0）=1，则P（0，1），再利用导数的几何意义可得切线的斜率k=f（0），利用点斜式求出切线方程，化简即可得到答案；（）将切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，转化为ax22x+1+ln（x+1）=x+1有且只有一个实数解，令h（x）=ax2x+ln（x+1），研究h（x）=0的解的个数问题，求出h（x）=0的根，对a进行分类讨论，当a=时，h（x）=0只有一个解，符合题意，当0a时，利用函数的单调性和极值，确定方程h（x）=0有两个根，不符合题意，当a时，利用函
25、数的单调性和极值，确定方程h（x）=0有两个根，不符合题意，综合上述，确定a的值；（）求出，令k（x）=2ax2+（2a2）x1，根据x+10，则将f（x）0等价于k（x）=2ax2+（2a2）x10，利用二次函数的性质，可知方程k（x）=0有两个不同的根x1，x2，其中1x1x2，确定f（x）的减区间为x1，x2，所以化简区间长度为x2x1=，根据a=n代入即可得x2x1=，利用单调性确定x2x1的取值范围，从而得到f（x）单调递减区间的长度的取值范围【解答】解：（）f（x）=ax22x+1+ln（x+1），且点P（0，f（0）为切点，f（0）=1，又，切线的斜率k=f（0）=1，又切点P（
26、0，1），由点斜式可得，y1=1（x0），即x+y1=0，切线l的方程为x+y1=0；（）切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax22x+1+ln（x+1）=x+1有且只有一个实数解，令h（x）=ax2x+ln（x+1），则h（x）=0有且只有一个实数解，h（0）=0，h（x）=0有一个解为x=0，又，在（1，+）上单调递增，x=0是方程h（x）=0的唯一解，符合题意；，列表如下：x（1，0）0h（x）+00+h（x）极大值0极小值，方程h（x）=0在上还有一解，方程h（x）=0的解不唯一；0a不符合题意；当，x2=0，列表如下：x 0（0，+）h（x）+00+h（x）极大值极
27、小值0，又当x1且x趋向1时，ax2xa+1，ln（x+1）趋向，h（x）趋向方程h（x）=0在上还有一解，方程h（x）=0的解不唯一；a不符合题意综合，当l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，；（）证明：f（x）=ax22x+1+ln（x+1），令k（x）=2ax2+（2a2）x1，x1，f（x）0等价于k（x）=2ax2+（2a2）x10，=（2a2）2+8a=4（a2+1）0，对称轴，k（1）=2a（2a2）1=10，k（x）=0有两个不同的解设为x1，x2，其中1x1x2，且，当x（x1，x2）时，f（x）0，y=f（x）的减区间为x1，x2，当a=n（nN*）时，区间长度，减区间长度x2x1的取值范围为2017年1月20日
