1、专题7函数的零点考试说明：理解函数零点存在性定理，了解数形结合、分类讨论的数学思想。高频考点：1、函数零点所在区间；2、 函数零点个数的判断；3、 利用零点的特征求参数的取值范围。函数的的零点问题是高考的热门考点，而且经常出现在小题压轴题的位置，有一定的难度，考察学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等多方面的能力，平时在学习中要多下功夫练习。一、 典例分析1（2019新课标）函数在，的零点个数为A2B3C4D52（2014上海）设为函数的零点，则ABCD3（2013天津）函数的零点个数为A1B2C3D44（2020天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是A，B，C，D，5（2017新课标
2、）已知函数有唯一零点，则ABCD16（2015天津）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是A，BCD，7（2014新课标）已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是ABCD8 （2018新课标）函数在，的零点个数为9（2018上海）设，函数，若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是10（2016山东）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是二、 真题集训1（2014北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是ABCD2（2015上海）记方程：，方程：，方程：，其中，是正实数当，成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的
3、是A方程有实根，且有实根B方程有实根，且无实根C方程无实根，且有实根D方程无实根，且无实根3（2015天津）已知函数，函数，则函数的零点个数为A2B3C4D54（2014山东）已知函数丨丨，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是AB，CD5（2013湖南）函数的图象与函数的图象的交点个数为A3B2C1D06（2013重庆）若，则函数的两个零点分别位于区间A和内B和内C和内D和内7（2020上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是8（2015湖北）函数的零点个数为9（2015江苏）已知函数，则方程实根的个数为10
4、.（2015湖北）的零点个数为11（2015北京）设函数若，则的最小值为；若恰有2个零点，则实数的取值范围是12.（2014江苏）已知是定义在上且周期为3的函数，当，时，若函数在区间，上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是典例分析答案1（2019新课标）函数在，的零点个数为A2B3C4D5分析：令，得 或，再根据 的取值范围，求出零点解答：解：函数 在，的零点个数，即方程 在区间，的根个数，即 在区间，的根个数，即 或 在区间，的根个数，解得或 或所以函数在，的零点个数为3个故选：点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了方程思想，属于基础题2（2014上海）设为函数的零点，则
5、ABCD分析：通过，（1），可得（1），故函数的零点在区间内，得到结果解答：解：函数的零点为，；（1），（1），故函数的零点在区间内，故选：点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题3（2013天津）函数的零点个数为A1B2C3D4分析：通过令，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数解答：解：函数，令，在同一坐标系中作出与，如图，由图可得零点的个数为2故选：点评：本题考查函数的零点，函数的图象的作法，考查数形结合与转化思想4（2020天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是A，B，C，D，分析：问题转化为有四个根，与有四个交点，再分三种情况当时，当时，
6、当时，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出的取值范围解答：解：若函数恰有4个零点，则有四个根，即与有四个交点，当时，与图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当时，与轴交于两点，图象如图所示，当时，函数的函数值为，当时，函数的函数值为，所以两图象有4个交点，符合题意，当时，与轴交于两点，在，内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需与在，还有两个交点，即可，即在，还有两个根，即在，还有两个根，函数，（当且仅当时，取等号），所以，且，所以，综上所述，的取值范围为，故选：点评：本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题5（2017新课标）已知函数有
7、唯一零点，则ABCD1分析：方法一：通过转化可知问题等价于函数的图象与的图象只有一个交点求的值分、三种情况，结合函数的单调性分析可得结论方法二：由已知令，则为偶函数，图象关于对称，结合已知函数有唯一零点及偶函数图象关于轴对称可求解答：解：因为，所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解，等价于函数的图象与的图象只有一个交点当时，此时有两个零点，矛盾；当时，由于在上递增、在上递减，且在上递增、在上递减，所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为，由于，此时函数的图象与的图象有两个交点，矛盾；当时，由于在上递增、在上递减，且在上递减、在上递增，所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为，由题可知点与点重
8、合时满足条件，即，即，符合条件；综上所述，方法二：，令，则为偶函数，图象关于对称，若有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当时，所以故选：点评：本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题6（2015天津）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是A，BCD，分析：求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可解答：解：，由，得，设，若，则，则，若，则，则，若，则即，作出函数的图象如图：当时，当时，故当时，有两个交点，当时，有无数个交点，由图象知要使函数恰有
9、4个零点，即恰有4个根，则满足，故选：点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键7（2014新课标）已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是ABCD分析：由题意可得，；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可解答：解：，；当时，有两个零点，不成立；当时，在上有零点，故不成立；当时，在上有且只有一个零点；故在上没有零点；而当时，在上取得最小值；故；故；综上所述，实数的取值范围是；故选：点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题9 （2018新课标）函数在，的零点个数为分析：由题意可得，
10、可得，即，即可求出解答：解：，当时，当时，当时，当时，或，或，故零点的个数为3，故答案为：3点评：本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题9（2018上海）设，函数，若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是分析：把函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，转化为在上有两不同根，可得解答：解：函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程有两不同根，也就是有两不同根，在上有两不同根，或，又，且，仅有两解时，应有，则的取值范围是故答案为：点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是中档题10（2016山东）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有
11、三个不同的根，则的取值范围是分析：作出函数的图象，依题意，可得，解之即可解答：解：当时，函数的图象如下：时，要使得关于的方程有三个不同的根，必须，即，解得，的取值范围是，故答案为：点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到是难点，属于中档题真题集训 答案1解：，（2），（4），满足（2）（4），在区间内必有零点，故选：2解：当方程有实根，且无实根时，即，成等比数列，即，则，即方程的判别式，此时方程无实根，故选：3解：，若，则时，若，则时，即由得到，作出两个函数和的图象如图：由图象知两个函数有两个不同的交点，故函数的零点个数为2个，故选：4解：由题意可得函数的图象
12、和函数的图象有两个交点，如图所示：，数形结合可得，故选：5解：在同一坐标系下，画出函数的图象与函数的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选：6解：，（a），（b），（c），由函数零点存在判定定理可知：在区间，内分别存在一个零点；又函数是二次函数，最多有两个零点，因此函数的两个零点分别位于区间，内故选：7解：根据条件（1）可得或（1），又因为关于的方程无实数解，所以或1，故，故答案为：，8解：函数的定义域为：，分别画出函数，的图象，由函数的图象可知，交点个数为2所以函数的零点有2个故答案为：29解：由可得与的图象如图所示，图象有2个交点与的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程实根的个
13、数为4故答案为：410.解：，由得，作出函数和的图象如图：由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，即函数的零点个数为2个，故答案为：211解：当时，当时，为增函数，当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故当时，设，若在时，与轴有一个交点，所以，并且当时，（1），所以，而函数有一个交点，所以，且，所以，若函数在时，与轴没有交点，则函数有两个交点，当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去），当（1）时，即时，的两个交点满足，都是满足题意的，综上所述的取值范围是，或12解：是定义在上且周期为3的函数，当，时，若函数在区间，上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数与的图象如图：由图象可知故答案为：