1、专题19平面向量（1）考试说明：1、理解平面向量的概念，向量的几何表示；2、 掌握平面向量的加法、减法、数乘运算，及其几何意义；3、 了解平面向量共线定理、基本定理及其意义；4、 会用坐标表示平面向量的线性运算，以及共线的条件；5、 理解平面向量数量积的含义及其物理意义，并会用坐标表示数量积；6、 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断垂直关系；7、 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。高频考点：1、平面向量基本定理及其意义；2、 用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘、数量积、夹角、模等运算；3、 平面向量数量积与三角函数、解三角形的综合应用。高考中，平面向量是必考的考点，一般以小
2、题的形式考查，有时考查基本的运算，属于基础题，有时考查综合题，难度不小，给大家把近几年的高考题总结如下，希望对同学们有所帮助。一、 典例分析1（2020新课标）已知向量，满足，则，ABCD2（2016山东）已知非零向量，满足，若，则实数的值为A4BCD3（2021上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：存在，使得；存在，使得；它们的成立情况是A成立，成立B成立，不成立C不成立，成立D不成立，不成立4（2020山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是ABCD5（2018天津）在如图的平面图形中，已知，则的值为ABCD06（2017浙江）如图，已知平面四边形，与交于点，记，则ABCD
3、7（2016天津）已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为ABCD8（2021新高考）（多选题）已知为坐标原点，点，则ABCD9（2021新高考）已知向量，则10（2020江苏）在中，在边上，延长到，使得若为常数），则的长度是 二、 真题集训1（2019新课标）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为ABCD2（2018新课标）在中，为边上的中线，为的中点，则ABCD3（2015重庆）若非零向量，满足，且，则与的夹角为ABCD4（2016上海）设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：若，则；若，则关于以上两个结论，正确的判断是A成立，不成立B不成立
4、，成立C成立，成立D不成立，不成立5（2020上海）三角形中，是中点，则6（2019天津）在四边形中，点在线段的延长线上，且，则7（2019江苏）如图，在中，是的中点，在边上，与交于点若，则的值是8（2017山东）已知， 是互相垂直的单位向量，若 与的夹角为，则实数的值是9（2017天津）在中，若，且，则的值为10（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且，与的夹角为若，则11（2015四川）设四边形为平行四边形，若点、满足，则A20B15C9D612（2014上海）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，2，是小正方形的其余顶点，则
5、，2，的不同值的个数为A7B5C3D1典例分析答案1（2020新课标）已知向量，满足，则，ABCD分析：利用已知条件求出，然后利用向量的数量积求解即可解答：解：向量，满足，可得，故选：点评：本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题2（2016山东）已知非零向量，满足，若，则实数的值为A4BCD分析：若，则，进而可得实数的值解答：解：，解得：，故选：点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题3（2021上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：存在，使得；存在，使得；它们的成立情况是A成立，成立B成立，不成立C不成立，成
6、立D不成立，不成立分析：设，由向量数量的坐标运算即可判断；为中点，可得，由为中点，可得与的交点即为重心，从而可判断解答：解：不妨设，若，则，即，满足条件的存在，例如，满足上式，所以成立；为中点，与的交点即为重心，因为为的三等分点，为中点，所以与不共线，即不成立故选：点评：本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题4（2020山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是ABCD分析：画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可解答：解：画出图形如图，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，可得，最大值为6，在处取得最小值，最小值为，是边长为2
7、的正六边形内的一点，所以的取值范围是故选：点评：本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是中档题5（2018天津）在如图的平面图形中，已知，则的值为ABCD0分析：解法，由题意判断，且，再利用余弦定理求出和的余弦值，计算即可解法：用特殊值法，不妨设四边形是平行四边形，由题意求得的值解答：解：解法，由题意，且，又，；，解题：不妨设四边形是平行四边形，由，知，故选：点评：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题6（2017浙江）如图，已知平面四边形，与交于点，记，则ABCD分析：根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可解答：解：，由图象知，即，方法如图：作线段的垂直平
8、分线，由于，因此，在直线的同侧，则，进而，在等腰三角形中，这样就有，故选：点评：本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键7（2016天津）已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为ABCD分析：由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案解答：解：如图，、分别是边、的中点，且，故选：点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题8（2021新高考）（多选题）已知为坐标原点，点，则ABCD分析：法一、由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案；法二、由题意画出
9、图形，利用向量的模及数量积运算逐一分析四个选项得答案解答：解：法一、，则，则，故正确；，故错误；，故正确；，故错误故选：法二、如图建立平面直角坐标系，作出单位圆，并作出角，使角的始边由重合，终边交圆于点，角的始边为，终边交圆于，角的始边为，交圆于，于是，由向量的模与数量积可知，、正确；、错误故选：点评：本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题9（2021新高考）已知向量，则分析：或或，三等式两边平方可解决此题解答：解：方法1：由得或或，或或，又，故答案为：方法故答案为：点评：本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，
10、属于基础题10（2020江苏）在中，在边上，延长到，使得若为常数），则的长度是 分析：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，求得与的坐标，再把的坐标用表示由列式求得值，然后分类求得的坐标，则的长度可求解答：解：如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则，由，得，整理得：，由，得，解得或当时，此时与重合，；当时，直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程可得，即，的长度是0或故答案为：0或点评：本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题真题集训答案1解：，故选：2解：在中，为边上的中线，为的中点，故选：3解：，即，即，即，即，故选：4解：假设存在实数使得，则，向量与既不平行也不垂直，满足，因此若，则，无法得到，因此不一定正确故选：5解：在中，由余弦定理得，且是的中点，故答案为：6解：，在等腰三角形中，又，又，故答案为：7解：设，故答案为：8解：【方法一】由题意，设，则，；又夹角为，即，解得【方法二】， 是互相垂直的单位向量，且；又 与的夹角为，即，化简得，即，解得故答案为：9解：如图所示，中，又，解得故答案为：10解：如图所示，建立直角坐标系由与的夹角为，且，解得，则故答案为：311解：四边形为平行四边形，点、满足，根据图形可得：，故选：12解：如图建立平面直角坐标系，则，2，的不同值的个数为3，故选：