1、钦州市2022年秋季学期教学质量监测高一 数学（考试时间：120分钟；赋分：150分）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，有 且只有一项是符合题目要求的（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效）1. 一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是()A. 35B. 45C. 23D. 342. 已知集合A=x|0log4x0,则此函数的“友好点对”有()A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数f(
2、x)=1,xQ,0,xRQ被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集.以下关于狄利克雷函数f(x)的五个结论中正确的个数是()对于任意的xR，都有f(f(x)=1;函数f(x)是偶函数;函数f(x)的值域是0,1;若T0且T为有理数，则f(x+T)=f(x)对任意的xR恒成立;在f(x)图象上存在三个不同的点A，B，C，使得ABC为等边三角形A. 2B. 3C. 4D. 58. 设函数f(x)=log3x,x0,x2+2x2,x0,若f(a)=1，则a=()A. 3B. 3C. 3或1D. 3或19. 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样
3、的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为()A. 30B. 25C. 20D. 1510. 已知a=ln2，b=20.8，c=ln23，则()A. acbB. cabC. cbaD. ab12 C. x|x12且x1 D. x|x12且x112. 设集合P=3,log3a，Q=a,b，若PQ=0，则PQ等于()A. 3,0 B. 3,0,2 C. 3,0,1 D. 3,0,1,2第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86
4、，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为_全科免费下载公众号-高中僧课堂14. 某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关现有一位参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率分别为12，13，则该参加者有资格闯第三关的概率为_15. 若点P(4,2)在函数f(x)=logax的图象上，点Q(m,14)在f(x)的反函数图象上，则m=_16. 光线通过一块玻璃，强度损失10%，那么至少遇过_块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来15以下(lg30.477,lg20.3)三、解答题：本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分1
5、0分）如图，已知ABC，AB=AC=5，BC=8，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P做BC的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为，设BP=x，的面积为S(x)，的周长为Lx(1)求S(x)和L(x)的解析式；(2)记F(x)=S(x)L(x)，求F(x)的最大值18. (本小题12分)已知定义在R上的函数f(x)=2x+a2x+1+2是奇函数(1)求实数a的值；(2)解方程f(x)=718；(3)若对任意的xR，不等式f(4x2x+1+3)+f(22x+1k2x)0,a1)(1)当a=2时，求不等式f(x)lg(kx2)在区间3,5上有解，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由20. (
6、本小题12分)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入(单位：万元)的函数为R(x)=5x12x2(0x5)，其中x是产品生产并售出的数量(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？(3)年产量为多少时，企业才不亏本(不赔钱)？21. (本小题12分)已知函数f(x)的图象在定义域(0,+)上连续不断.若存在常数T0，使得对于任意的x0，f(Tx)=f(x)+T恒成立，称函数f(x)满足性质P(T)(1)若f(x)满足性质P(2)，且f(1)
7、=0，求f(4)+f(14)的值；(2)若f(x)=log1.2x，试说明至少存在两个不等的正数T1,T2，同时使得函数f(x)满足性质P(T1)和P(T2).(参考数据：1.24=2.0736)(3)若函数f(x)满足性质P(T)，求证：函数f(x)存在零点22. (本小题12分)某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如图所示(1)求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值(同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数)；(2)根据频率分布直方图估计
8、复赛选手年龄的第75百分位数；(3)决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制已知某选手专业得分的平均数和方差分别为x1=8.4，S12=0.015，媒体得分的平均数和方差分别为x2=8.8，S22=0.054，大众得分的平均数和方差分别为x3=9.4，S32=0.064，将这30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差(结果保留三位小数)附：方差S2=1ni=1n(xix)2=1ni=1nxi2x2参考答案1.A2.A3.A4.B5.A6.C7.D8.B9.C10.B11.D12.C13.0.2114.2315.216.1617.解：(1)
9、作ABC的高AD，AB=AC=5，BC=8，AD=3，sinB=35，cosB=45，tanB=34，设垂线段l长为，当0x4，tanB=34=x，=34x，S(x)=12x34x=38x2，L(x)=x+34x+x2+(34x)2=3x，当4x8，tanC=tanB=34=8x，=34(8x)，S(x)=1238(8x)2，L(x)=x+5+554(8x)+34(8x)=6+32x，综上可得，Sx=38x2,0x412388x2,4x8,Lx=3x,0x46+32x,4x8；(2)当0x4时，F(x)=S(x)L(x)=18x12，最大值为12；当4x8时，F(x)=S(x)L(x)=123
10、88x26+32x38x2+6x126+32x=3x2+48x9648+12x=x2+16x324x+4，令t=x+4，812，F(x)max=627综上可知F(x)最大值为62718.解：(1)f0=0a=1，经检验a=1时，对任意xR，都有f(x)=f(x)，故a=1(2)由f(x)=718得2x+12x+1+2=718，令t=2x，t(0,+)得，t+12t+2=718,t=8,2x=8,x=3(3)f(x)=2x+12x+1+2=12x2(2x+1)=122(2x+1)2x+1=12(22x+11)因为y=2x+1单调递增，所以y=22x+11单调递减，即f(x)单调递减.f(4x2x
11、+1+3)+f(22x+1k2x)0得f(4x2x+1+3)f(22x+1k2x)因为f(x)是奇函数，所以f(4x2x+1+3)k2x22x+1在xR上恒成立.令t=2x，t(0,+)得，t22t+3kt2t2，k3t22t+3t令(t)=3t22t+3t=3t+3t2，(t)在0,1单调递减，在1,+)单调递增所以(t)min=(1)=4k419.解：(1)当a=2时，f(x)=log2(2x3)+13，故02x34，解得32x72，不等式f(x)lg(kx2)化为lg(2x1)2lg(kx2)即k(2x1)2x2在区间3,5上有解；令(x)=(2x1)2x2,x3,5，则k(x)max，
12、(x)=(2x1)2x2=(1x2)2，1x15,13，k5)，即y=12x2+194x12(0x5)1214x(x5)(2)当0x5时，y=12x2+194x12=12(x194)2+34532，当x=194=4.75时，ymax=34532;当x5时，y5,解得193454x5或50，f(2x)=f(x)+2恒成立又因为f(1)=0，所以，f(2)=f(1)+2=2，f(4)=f(2)+2=4，由f(1)=f(12)+2可得f(12)=f(1)2=2，由f(12)=f(14)+2可得f(14)=f(12)2=4，所以，f(4)+f(14)=0.()若正数T满足log1.2(Tx)=log1
13、.2x+T，等价于log1.2T=T(或者1.2T=T)，记g(x)=xlog1.2x，(或者设g(x)=1.2xx,x(0,+)，显然g(1)0，g(2)=2log1.22=log1.21.44log1.222，所以1.21616，16log1.216，即g(16)0.因为g(x)的图像连续不断，所以存在T(1,2)1,T2(2,16)，使得g(T1)=g(T2)=0，因此，至少存在两个不等的正数T1,T2，使得函数f(x)同时满足性质P(T1)和P(T2)()若f(1)=0，则1即为f(x)的零点；若f(1)=MMT即可使得f(Tk)=M+kT0所以，f(x)存在零点若f(1)=M0，则由
14、f(1)=f(1T)+T，可得f(1T)=f(1)T，由f(1T)=f(1T2)+T，可得f(1T2)=f(1T)T=f(1)2T，由f(1Tk1)=f(1Tk)+T，可得f(1Tk)=f(1Tk1)T=f(1)kT,其中kN+取k=MT+1MT即可使得f(1Tk)=MkT0.所以，f(x)存在零点综上，f(x)存在零点.22.解：(1)由频率分布直方图知，(0.01+0.015+0.020+2x+0.030+0.035+0.040)5=1，解得x=0.025，因此复赛选手年龄的平均值x=(22.50.010+27.50.025+32.50.035+37.50.040+42.50.030+47
15、.50.025+52.50.020+57.50.015)539.6(岁)(2)因为(0.010+0.025+0.035+0.040+0.030)5=0.70.75，所以第75百分位数落在45,50)区间内，设为t，则(0.010+0.025+0.035+0.040+0.030)5+(t45)0.025=0.75，解得t=47，即第75百分位数为47分(3)由S2=1ni=1n(xix)2，设该名选手最终的平均分为y，最终方差为s2，则y=18+10+12(8.48+8.810+9.412)8.933(分)，s2=1308S12+(x1y)2+10S22+(x2y)2+12S32+(x3y)2=13080.015+(8.48.933)2+100.054+(8.88.933)2+120.064+(9.48.933)20.216估计该选手最终得分为8.933分，其得分方差为0.216