1、高考资源网（） 您身边的高考专家22超几何分布1.了解超几何分布的背景2.理解超几何分布的概念及其推导过程3掌握用超几何分布解决实际问题的方法1超几何分布一般地，若一个随机变量X的分布列为P(Xr)，其中r0，1，2，3，l，lmin(n，M)，则称X服从超几何分布，记为XH(n，M，N)，并将P(Xr)记为H(r；n，M，N)2超几何分布的概率分布X012lP为超几何分布的概率分布1一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为()A.B.C.D.解析：选C.由题意取出的3个球必为2个旧球，1个新球故
2、P(X4).2一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为_解析：N15，M5，n4，P(X3).答案：超几何分布的概念及应用厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这批产品的概率【解】20件产品中，从中任取2件，用X表示“2件产品中不合格品的件数”，则X服从超几何分布H(2，3，2
3、0)，则P(X1)，P(X2)，所以商家拒收这批商品的概率为P(X1)，即P(X1)P(X1)P(X2).即该商家拒收这批产品的概率为.现实生活及生产实际中的许多问题都需要超几何分布的概率模型来解决在本题中，产品被拒收的概率为P(X1)，X1包含X1和X2两种情况1.在20件产品中，有15件是一级品，5件是二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率为多少？解：设表示二级品的件数，P(1)，P(2)，P(3).所以P(1)P(1)P(2)P(3).超几何分布的概率分布某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的概率
4、分布【解】依题意知随机变量X服从超几何分布，其中N10，M6，n4，所以P(Xk)(k0，1，2，3，4)，即P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的概率分布如下表：X01234P解决此类问题的关键是先判断出所给问题是否属于超几何分布问题，是超几何分布问题可直接利用公式求解，当数字较大时，需利用计算器求值2.从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数的概率分布，并求至少取得一件次品的概率解：设随机变量表示取出次品的个数，则服从超几何分布，其中N15，M2，n3.的可能取值为0，1，2，相应的概率依次为：P(0)，P(1)，P(2).所以的
5、概率分布如下表所示：012P故至少取得一件次品的概率为P(1)P(2).综合问题盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：(1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；(2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；(3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率【解】(1)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意P(A).(2)“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则P(B).(3)“抽出的3张卡片的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为P(D)，所
6、以P(C)1P(D)1.本题融排列、组合、古典概型、分布列的知识于一体，在知识上相互联系，解决此类问题的关键在于正确地处理好等可能事件的概率、对立事件的概率间的关系，并结合分布列的有关知识把相应的问题细化，从而解决3.在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的概率分布解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况
7、P(X1)，则P(X0)1P(X1)1.因此X的概率分布为X01P(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖故所求概率P.Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(Y0)，P(Y10)，P(Y20)，P(Y50)，P(Y60).因此随机变量Y的概率分布为Y010205060P1超几何分布，实质是从总数为N(其中含有一类特殊物品M件)的物品中，抽取一个容量为n的样本，其中样本中含有这样特殊物品的件数X是一个随机变量，这个随机变量X的概率分布就是超几何分布2解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及
8、其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(Xk)，从而求出X的分布列某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布【解】(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A).所以，选出的3名同学是来自互不相
9、同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(Xk)(k0，1，2，3)所以，随机变量X的概率分布是X0123P(1)解答本例的3个关键步骤：首先确定随机变量X的取值，是正确作答的关键要明确X取不同值的意义，才能正确求X所对应值的概率解答本题时易文字叙述严重缺失，如第(1)问只写出P(A).(2)解答本类问题一是要正确理解题意，将实际问题转化为数学问题，二是在明确随机变量取每一个值所对应的随机事件外，还必须准确求出每个随机事件的概率1由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变量X表示这6人中共产党员的人数，则P(X3)_解析：依题意知
10、，XH(6，5，12)，P(X3).答案：2在100张奖券中，有4张有奖奖券，从中任取2张，则2张都中奖的概率是_解析：设X为2张中的中奖数，则P(X2).答案：3从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为X012P_解析：P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3.答案：0.10.60.3 A基础达标1一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球若从中任取2个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为()A.B.C.D.解析：选D.由题意得P.2已知在15个村庄中有7个村庄交通不方
11、便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则P(X4)()A.B.C.D.解析：选C.X服从超几何分布，基本事件总数为C，所求事件数为CC，所以P(X4).3一袋中装有10个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X2)()A.B.C.D.解析：选B.设10个球中有白球m个，则1，解得：m5.P(X2).4从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是_解析：P.答案：5在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到已过保质期的饮料的概率为_解析：取到已过
12、保质期饮料的瓶数服从超几何分布，其中参数为N20，M2，n2，则所求事件的概率为11.答案：6在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是_解析：P(都不是一等品)，P(恰有一件一等品)，P(都是一等品)，P(至少有一件一等品)1，P(至多有一件一等品)1.答案：至多有一件一等品7老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出2篇才能及格某同学只会背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他会背诵的课文的数量的概率分布；(2)他能及格的概率解：(1)设抽到他会背诵的课文的数量为X，则X服从参数N10，M6，n3的超几何分布则有P(X0)，P(X1)，P(X2)，P
13、(X3).因此X的概率分布为X0123P(2)他能及格的概率为P(X2)P(X2)P(X3).8已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和，求X的概率分布解：X的可能取值有：3，4，5，6.P(X3)；P(X4)；P(X5)；P(X6).故所求X的概率分布为X3456P B能力提升1某国科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为_(结果用分数表示)解析：成员有114520人，从中任选2人的不
14、同选法有C种，其中不属于同一国家的有CCCCCC种，根据等可能性事件发生的概率计算公式，可得所求概率为P.答案：210张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是_解析：设随机变量X为中奖人数，X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式得P(X1)P(X1)P(X2)P(X3).答案：3某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；(2)
15、某场比赛前，从代表队的6名学生再随机抽取4名参赛，记X表示参赛的男生人数，求X的分布列解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为：，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为：1，2，3.P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X123P4(选做题)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495，(495，500，(510，515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求质量超过505g的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505g的产品数量，求Y的分布列解：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505g的产品数量为40(0.0550.015)400.312(件)(2)随机变量Y的可能取值为0，1，2，且Y服从参数为N40，M12，n2的超几何分布，故P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).所以随机变量Y的分布列为Y012P高考资源网版权所有，侵权必究！