1、第5课时空间向量运算的坐标表示核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P95P97的内容，回答下列问题(1)我们知道，向量a在平面上可用有序实数对(x，y)表示，在空间则可用有序实数组(x，y，z)表示在平面向量中，若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则如何计算ab，ab，a，ab，|a|和cosa，b？ab及ab的充要条件是什么？提示：ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)，a(a1，a2)，aba1b1a2b2，|a|，cosa，b.aba1b2a2b1，aba1b1a2b20.(2)在空间向量中，若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，你能类比平面向
2、量计算ab，ab，a，ab，|a|及cosa，b吗？ab及ab的充要条件又是什么？提示：ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3，|a|，cosa，bababa1b1，a2b2，a3b3，aba1b1a2b2a3b30.2归纳总结，核心必记(1)空间向量的坐标运算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)(R)；aba1b1a2b2a3b3；aba1b1，a2b2，a3b3(b0，R)；aba1b1a
3、2b2a3b30；|a|；cosa，b .(2)空间中向量的坐标及两点间的距离公式若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)则(x2x1，y2y1，z2z1)；dAB问题思考(1)若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，能否说“ab”？为什么？提示：不能当b的三个坐标都不为0时，ab才成立，否则有些分式无意义(2)平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算法是相同的但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)若a(a
4、1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab；ab；a；|a|；cosa，b；(2)ab和ab的充要条件是：；(3)若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则；|讲一讲1已知O为原点，A，B，C，D四点的坐标分别为A(2，4，1)，B(3，2，0)，C(2，1，4)，D(6，3，2)，求满足下列条件的点P的坐标 尝试解答A(2，4，1)，B(3，2，0)，C(2，1，4)，D(6，3，2)，(1) (3，2，0)(2，1，4)(5，1，4)，2(5，1，4)(10，2，8)点P的坐标为(10，2，8)(2)设P(x，y，z)，则(x2，y4，z1)，又(1，6，1)，(8，2，2
5、)，3()3(9，8，3)(x2，y4，z1)3(9，8，3)解得点P的坐标为(29，20，8)向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标练一练1已知a(2，1，2)，b(0，1，4)，求：ab，ab，ab，(2a)(b)，(ab)(ab)解：ab(2，1，2)(0，1，4)(20，1(1)，24)(2，2，2)；ab(2，1，2)(0，1，4)(20，1(1)，24)(2，0，6)；ab(2，1，2)(0，1，4)20(1)(1)(2)47；(2a)(b)2(ab)
6、2(7)14；(ab)(ab)(2，2，2)(2，0，6)22202(6)8.思考若ab0，则a一定与b垂直吗？反之，若ab，一定有ab0成立吗？名师指津：若ab0，则a与b不一定垂直当a或b为0时，ab0；若ab，则一定有ab0成立讲一讲2已知向量a(1，2，2)，b(2，4，4)，c(2，x，4)(1)判断a，b的位置关系；(2)若ac，求|c|；(3)若(a2c)(bc)，求x的值尝试解答(1)因为a(1，2，2)，b(2，4，4)，所以，即b2a.故ab.(2)因为ac，所以，所以x4.此时c(2，4，4)，故|c|6.(3)由已知得a2c(5，22x，10)，bc(0，x4，0)因为
7、(a2c)(bc)，所以(a2c)(bc)0，即(22x)(x4)0，解得x1或x4.解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标例如，设向量a(x，y，z)(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数例如，已知ab，则引入参数，有ab，再转化为方程组求解(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的练一练2已知a(1，1，2)，b(6，41，2)，若ab，则与的值可以分别是()A2，B，C3，2 D2，2解析：选A依题意，得，解得2，或3，.3若m(2，1，1)，n(，5，1)，且m(mn)，则_解析：由已知得mn(2，6，0)由m(mn)0得，2(2)60
8、0，所以5.答案：5讲一讲3棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点(1)求证：EFCF；(2)求EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长尝试解答建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G.，.(1)证明：00，即EFCF.(2)10.| ，| ，即EF与CG所成角的余弦值为.(3)|CE| .在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单练一练4如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BC
9、A90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；(3)求证：BN平面C1MN.解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， (3)证明：依题意得A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，B(0，1，0)，N(1，0，1)，M.即BNC1M，BNC1N，又C1MC1NC1，BN平面C1MN.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是空间向量的坐标运算及两向量平行、垂直的充要条件，难点是利用空间向量解决夹角和距
10、离问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)空间向量的坐标运算，见讲1；(2)空间向量平行、垂直的充要条件及应用，见讲2；(3)利用向量的坐标运算解决夹角和距离问题，见讲3.3本节课的易错点有两处：(1)利用abab0时，易忽视a0且b0；(2)利用向量解决异面直线所成角的问题时，易忽视角的取值范围在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况4运用向量坐标运算解决几何问题的方法：课时达标训练（十八） 即时达标对点练题组1空间向量的坐标运算1已知向量a(4，2，4)，b(6，3，2)，则下列结论正确的是()Aab(10，5，6) Bab(2，1，6)Cab10 D|a|6
11、解析：选Dab(10，5，2)，ab(2，1，6)，ab22，|a|6，A、B、C错2已知A(4，1，3)，B(2，5，1)，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为()A. B.C. D.解析：选C由题意知，设C(x，y，z)，则2(x4，y1，z3)(2x，5y，1z)，所以所以3已知M1(2，5，3)，M2(3，2，5)，设在线段M1M2上的一点M满足，则向量的坐标为_解析：设M(x，y，z)，则(1，7，2)，(3x，2y，5z)答案：题组2空间向量的平行与垂直4已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1 B. C. D.解析：选D由题意得，
12、(kab)(2ab)(k1，k，2)(3，2，2)3(k1)2k40，所以k.5以正方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是()A(1，) B(1，1，)C(，) D(，1)解析：选C设正方体的棱长为1，则由图可知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，(1，1，1)，与共线的向量的坐标可以是(，)6如果三点A(1，5，2)、B(2，4，1)、C(a，3，b2)共线，那么ab_解析：A、B、C三点共线，即(1，1，3)(a1，2，b4)(a1)，2，(b4)解得，a3，b2.ab1.答案：1题组3夹角与距离的计算7已知A(2，5，1)，B
13、(2，2，4)，C(1，4，1)，则向量AB与AC的夹角为()A30 B45 C60 D908若a(x，2，2)，b(2，3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_解析：ab2x23252x4，设a，b的夹角为，因为为钝角，所以cos 0，又|a|0，|b|0，所以ab0，即2x40，所以x2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(，2)答案：(，2)9空间三点A(1，2，3)，B(2，1，5)，C(3，2，5)，试求：(1)求ABC的面积；(2)ABC的AB边上的高 (2)| |，设AB边上的高为h，则|AB|hSABC3，h3.能力提升综合练1已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，
14、c(7，5，)，若a、b、c三向量共面，则实数等于()A. B. C. D.解析：选Da、b、c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使cxayb，即(7，5，)x(2，1，3)y(1，4，2)(2xy，x4y，3x2y)，所以解得3x2y.2已知A(3，3，3)，B(6，6，6)，O为原点，则的夹角是()A0 B C. D2解析：选B36363654，cos1，0，0.3已知点A(1，2，11)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的形状是()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选C(3，4，8)，(5，1，7)，(2，3，1)，|，|，|，|2|27514
15、89|2.ABC为直角三角形4已知向量a(0，1，1)，b(4，1，0)，|ab|，且0，则_解析：a(0，1，1)，b(4，1，0)，ab(4，1，)|ab|，16(1)2229.260.3或2.0，3.答案：35已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是_解析：由已知，得ba(2，t，t)(1t，1t，t)(1t，2t1，0)|ba|.当t时，|ba|取得最小值.答案：6如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，且PCAB.求：(1)的值；(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值解：(1)设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点O，建立如图所示
16、的空间直角坐标系，则A(0，1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，于是(，1，0)，(0，2，2)，(，1，2)因为PCAB，所以0，也即0. 所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.7如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M、N分别是AA1、CB1的中点(1)求BM、BN的长；(2)求BMN的面积解：以C为原点，以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.(1) (1，1，1)，|，|，故BM的长为，BN的长为.(2)SBMNBMBNsinMBN，sinMBN ，故SBMN.即BMN的面积为.