1、 1期望的概念及性质(1)若离散型随机变量的概率分布为P(xi)pi，i1,2，的数学期望E(2)若ab，其中a、b是常数E(ab).(3)若B(n，p)，则E.x1p1x2p2xnpn.aEbnp 2方差的概念(1)方差：把D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn叫做随机变量的；标准差是.(2)若B(n，p)，那么D 3方差的性质(1)c为常数，D(c)(2)a、b为常数，则D(ab).(3)E2(E)2.方差np(1p)0.a2DD 1(2010新课标全国卷)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学
2、期望为()A100 B200 C300 D400 答案 B 解析 记“不发芽的种子数为”，则B(1000,0.1)，所以E10000.1100，而X2，故EXE(2)2E200，故选B.2(2010济南)已知5件产品中有3件正品、2件次品，从中随机抽取 2件进行检验，设其中有件正品，则随机变量的期望为()A1.2 B2 C1 D1.4 答案 A解析 的可能取值为 0,1,2.P(0)C22C52 110，P(1)C31C21C52 35，P(2)C32C52 310.E0 1101352 3101.2.3(2011东北四市联考)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大
3、速度(单位：m/s)的数据如下：试问：选_(填甲或乙)参加某项重大比赛更合适 答案 乙甲273830373531乙332938342836解析 x甲33，x乙33.s 甲2473 s 乙2383.乙的成绩比甲稳定，应选乙参加比赛更合适点评 均值、方差是统计学的两个基本概念，高考常以小题形式出现牢记并熟练运用公式是解题的关键 4(2010湖北卷，理)某射手射击所得球数的分布列如下：已知的期望E8.9，则y的值为_ 答案 0.478910Px0.10.3y解析 依题意得x0.10.3y17x0.82.710y8.9，即xy0.67x10y5.4，由此解得 y0.4.5(09广东)已知离散型随机变量
4、X的分布列如下表若EX0，DX1，则a_，b_.答案 512 14解析 abc1112ac160ac131 a 512，b14，c14.题型一 期望、方差 例1(2010重庆卷，理)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望【解析】(1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则 A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)1P(A)1C32C6211
5、545.(2)的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 P(0)5C6213，P(1)4C62 415，P(2)3C6215，P(3)2C62 215，P(4)1C62 115.从而知 有分布列所以，E0131 4152153 2154 11543.探究1 求离散型随机变量的期望，一般分为两个步骤：(1)列出离散型随机变量的分布列；(2)利用公式Ex1p1x2p2xnpn，求出期望 思考题1(2011郑州)从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)0.96.求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；若该批产品共100件，从
6、中一次性任意抽取2件，用表示取出的2件产品中的二等品的件数，求的分布列及期望【解析】记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件是二等品”，则A0、A1互斥，且AA0A1.故P(A)P(A0A1)P(A0)P(A1)(1p)2C21p(1p)1p2.由题意，知1p20.96，又p0，故p0.2.可能的取值为 0,1,2.若该批产品共 100 件，由(1)知，其中共有二等品1000.220 件，故P(0)C802C1002316495，P(1)C801C201C1002 160495，P(2)C202C1002 19495.所以 的分布列为所以 的期望 E0
7、31649511604952 1949519849525.例2 每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数的分布列，并求出的期望E与方差D(保留3位有效数字)【解析】的取值为1,2,3,4.若1，表示第一次即投中，故P(1)0.7；若 2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(2)(10.7)0.70.21；若3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(3)(10.7)20.7；若4，表示前三次未投中，故P(4)(10.7)30.027.因此的分布列为：E10.720.2130.0634
8、0.0271.417,D(11.417)20.7(21.417)20.21(31.417)20.063(41.417)20.0270.5131234P0.7 0.210.0630.027 探究2 理解题意的关键是：投篮规则的确定，重点突出“一旦命中即停止该轮练习”只要前三次未中必投第4次，第4次中与不中即停止 思考题2 一次数学测验由25道选择题构成，每一个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，每个选择正确答案得4分，不作出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差【解析】选项的题数满足二项分布即B(25,0.8)E250.
9、820 D250.80.24.此学生的成绩为随机变量设为，则4 E4E80 D16D64.此学生成绩的期望为80，方差为64.题型二 期望、方差的性质例 3 设随机变量 具有分布 P(k)15，k1,2,3,4,5，求 E(2)2，D(21)，(1)【分析】利用性质 E(ab)aEb，D(ab)a2D.【解析】E115215315415515155 3.E2115221532154215521511.D(13)215(23)215(33)215(43)215(53)21515(41014)2.E(2)2E(244)E24E41112427.D(21)4D8，(1)D1 D 2.探究3 是随机变
10、量，则f()一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算思考题 3(1)设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)16(k1,2,3,4,5,6)，求 EX，E(2X3)和 DX；(2)设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)1n(k1,2,3，n)，求 EX 和 DX；(3)一次英语测验由 50 道选择题构成，每道有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得 3 分，选错或不选均不得分，满分 150 分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这次测试中的成绩的均值与方差【解析】(1)EXx1p1x2p2x3p3x6p63.5，E(2
11、X3)2EX310.DX(x1EX)2p1(x2EX)2p2(x6EX)2p616(13.5)2(23.5)2(63.5)217.5163512.(2)EX1n(12n)n12，DX1n(1n12)2(2n12)2(nn12)21n(122232n2)(n12)2 112(n21)(3)设X为该生选对试题个数，Y为成绩 则XB(50,0.7)，Y3X.EX500.735，DX500.70.310.5.故EYE(3X)3EX105，DYD(3X)9DX94.5.题型三 期望、方差的应用 例4 因冰雪灾害，某柑橘基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施若实施方案
12、一，预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令i(i1,2)表示方案i实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数(1)写出1、2的分布列；(2)实施哪种方案，两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产
13、量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元问实施哪种方案的平均利润更大？【解析】(1)1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44，1，2的分布列分别为10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.1520.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(2)令A、B分别表示实施方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量这一事件 P(A)0.150.150.3，P(B)0.240.080.32.可见，实施方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的概率
14、更大(3)令i表示方案i的预计利润，则1101520P0.350.350.32101520P0.50.180.32 所以E114.75，E214.1 可见，方案一的预计利润更大 探究4 从近年来全国各地有关概率的高考试题来看，命题的背景通常与实际生活密切相关，因此考生在复习过程中应适当关心身边所发生的一些事件，这些事件极有可能成为高考概率问题的命题背景 思考题4 某鲜花店每天以每束2.5元的价格购入新鲜玫瑰花，并以每束5元的价格销售，店主根据以往的销售统计得到每天能以此价格售出的玫瑰花数的分布列如下表所示若某天所购入的玫瑰花未售完，则当天未售出的玫瑰花将以每束1.5元的价格降价处理完毕.(1)
15、若某天店主购入玫瑰花40束，试求该天从玫瑰花销售中所获利润的期望；(2)每天玫瑰花的进货量x(30 x50，单位：束)为多少时，店主有望从玫瑰花销售中获取最大利润？【解析】(1)设该天从玫瑰花销售中所获得利润为，当 30 时，302.510(2.51.5)65，当 40 时，402.5100，当 50 时，402.5100，则 E651310013100132653.(2)当 30 x40 时E302.5(x30)13x2.513x2.5131054x3，当 40 x50 时，E302.5(x30)13402.5(x40)13x2.5132450.5x3，则当30 x50时，E递增，所以当x5
16、0时，E的最大值为90，即店主有望从玫瑰花销售中获取最大利润90元 1离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的简明的描写期望表示在随机试验中随机变量取得的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散程度，即取值的稳定性把握离散型随机变量的数学期望与方差的含义，是处理有关应用题的重要环节 2期望与方差的常用性质，掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；(2)若B(n，p)，则E()np，D()np(1p).1.有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，若 X 表示取到次品的个数，则 E(X)等于(
17、)A.35 B.815C.1415D1 答案 A解析 离散型随机变量 X 服从 N10，M3，n2的超几何分布，EXnMN 2310 35.2某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()A0.4 B1.2 C0.43D0.6 答案 B 解析 途中遇红灯的次数X服从二项分布，即XB(3,0.4)，EX30.41.2.3设 B(n，p)，且 E12，D4，则 n 与 p 的值分别为()A18，13B12，23C18，23D12，13 答案 C解析 由np12np1p4，解得 n18，p23.4(09浙江)在
18、1,2,3，9这9个自然数中，任取3个数(1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；(2)记为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值是2)求随机变量的分布列及其数学期望E.解析(1)记“这 3 个数中恰有一个是偶数”为事件A，则 P(A)C41C52C93 1021.(2)随机变量 的取值为 0,1,2.的分布列是所以 的数学期望E0 5121122 11223 5(2010湖南卷，理)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望 解析(1)依题意及频率分布直方图知，0.020.1x0.370.391，解得x0.12.(2)由题意知，XB(3,0.1)因此P(X0)C300.930.729，P(X1)C310.10.920.243，P(X2)C320.120.90.027，P(X3)C330.130.001.故随机变量X的分布列为 X的数学期望为EX30.10.3.X0123P0.729 0.243 0.027 0.001