1、 数学试卷（理工类）第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则（ ）A7 B6 C5 D42.如图，在复平面内，表示复数的点为，则复数的共轭复数是（ ）A B C D3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又单调递增的函数是（ ）A B C D4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A30 B24 C12 D45.若函数同时满足以下三个性质：的最小正周期为；对任意的，都有；在上是减函数，则的解析式可能是（ ）A B C D6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数的可能取值
2、的集合是（ ）A B C D7.设满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）A B C D8.已知三棱锥中，底面为边长等于的等边三角形，垂直于底面，那么三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D9. 已知双曲线与函数的图象交于点，若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（ ）A B C D10.已知正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则（ ）A50 B100 C1500 D250011.已知圆，点是直线上的动点，若在圆上总存在两个不同的点，使，则的取值范围是（ ）A B C D12.已知函数，若成立，则的最小值为（ ）A B C D第卷（非选择题
3、 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知的展开式中含的项的系数为30，则实数_.14.在区间上随机抽取两个数，则事件“”发生的概率为_.15.在中，角的对边分别是，若，则的大小是_.16.已知关于的函数的最大值为，最小值为，若，则实数的值为_.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知是数列的前项和，且，数列中，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设（），求的前项和.18.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，且，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正切值的大小.19.（本小题满分12分）近几年来，我国许多地区经
4、常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动，预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的.（1）求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率；（2）求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数的分布列；（3）用表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数，记“函数在区间上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长为.（1）已知点是椭圆上两点，点为椭圆
5、的上顶点，的重心恰好是椭圆的右焦点，求所在直线的斜率；（2）过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点，且，求四边形的面积最小时直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数（，为自然对数的底数）.（1）若对于任意，总存在，使得成立，求的最小值；（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，与相交于两点，是的直径，过点作的切线交于点，并与的延长线交于点，分别与，交于两点.（1）求证：；（2）求证：.23. （本小题满分10分）
6、选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，设倾斜角为的直线的方程为，（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于不同的两点.（1）若，求线段中点的直角坐标；（2）若，其中，求直线的斜率.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，对于，都有成立，求的取值范围.太原市2016年高三年级模试题（二）数学试卷（理工类）参考答案一、选择题：1-5.ABCBB 6-10.CADBD 11-12.AB二、填空题：13.-5 14. 15. 16.1三、解答题：17.解：（1）时，可得，的奇数项和偶数
7、项分别以4为公差的等差数列，当时，；当，时，.（2），也适合，再由错位相减得.18.（1）证明：在中，又，且是平面内的两条相交直线，平面，又平面，平面平面.（2）在中，双，且是平面内的两条相交直线，面，建立如图所示的坐标系，则，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量，由，得，取，则，设二面角的大小为，则，二面角的正切值为.19.解：（1）未来一周5天都组织集体活动的概率是，则至少有一天停止组织集体活动的概率是.（2）的取值是0，1，2，3，4，5，则，不需要停止组织集体活动的天数分布列是012345（3）因为函数在区间上有且只有一个零点，且，则，故或，故所求概率为：20.（1）由题意：，解得，
8、所求椭圆的方程为.设，根据题意，即，.由 ， 得，.（2）设，则由题意：，即整理得：，即，所以.若直线中有一条斜率不存在，不妨设的斜率不存在，则轴，所以，故四边形的面积.若直线的斜率存在，设直线的方程为：，则由，得，则，同理可求得，故四边形的面积：（当取“=”），此时，四边形面积的最小值为，所以直线方程为：或.21.解：（1）设，则时，在上为减函数，所以只要，所以只要在上有解即可.即在上有解，设，因为，所以在上为增函数，只要，所以的最小值是.（2），由，得，又.若函数在区间内有零点，设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间内不可能单调，则在区间内不可能恒为正，也不可能恒为负，故在区间内存在零点
9、，同理在区间内存在零点，故函数在区间内至少有三个单调区间，在区间内至少有两个零点.设，.当或时，函数在区间内单调，不满足“函数在区间内至少有三个单调区间”；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，因此，又，令，则，令，得，列表如下：+-增减依表格知：当时，恒成立，于是，函数在区间内至少有三个单调区间满足，即，解得，综上所述，的取值范围为.22.（1）分别是的割线，又分别是的切线和割线，.（2）连结，是的直径，是的切线，由（1）知，,又是的切线，（或，是的直径，由垂径定理得，,.）23.解：（1）曲线的普通方程是,当时，设点对应的参数为，直线方程为，（为参数），代入曲线的普通方程，得，设直线上的点对应参数分别为，则，所以点的坐标为.（2）将代入曲线的普通方程，得，因为，所以，解得，由于，故，所以直线的斜率为.24.解（1）令，得；令，得.当时，原不等式化为，即，无解；当时，原不等式化为，即，得.当时，原不等式化为，即，得，所以原不等式的解集为.（2）令，当时，由，得，对于使得恒成立，只需 即可，作出的大致图象，易知，得