1、第3课时空间向量的数量积运算核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P90P92的内容，回答下列问题(1)在平面向量中，如何作出两个非零向量a和b的夹角？其夹角的取值范围是什么？提示：在平面任取一点O，作b，则AOB即为向量a和b的夹角，且夹角的范围为0，(2)在空间中两个非零向量a和b的夹角及取值范围与平面向量有什么关系？提示：完全一致(3)已知两个非零向量a，b，如何求ab?提示：ab|a|b|cosa，b(4)空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？提示：(a)b(ab)；abba；a(bc)abac.与平面向量的运算律一致2归纳总结，核心必记(1)空间向量
2、的夹角如图，已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b向量a，b的夹角a，b的范围是0，若a，b，那么称向量a，b互相垂直，记作ab(2)空间向量的数量积定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b运算律：()(a)b(ab)；()交换律：abba；()分配律：a(bc)abac.数量积的性质： 问题思考(1)a，bb，a吗？a，b与a，b，a，b，a，b有什么关系？提示：a，bb，a，a，ba，ba，b，a，ba，b(2)数量积运算满足结合律吗？提示：数量积运算不满足结合律，也不
3、满足消去律，即(ab)ca(bc)，abac/bc.(3)已知向量a，b，对于|ab|a|b|成立吗？提示：|ab|a|b|cosa，b|a|b|.当a与b共线时，|ab|a|b|，否则不成立课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)空间两个非零向量a和b的夹角的定义是：，取值范围是：；(2)空间两个向量a与b的数量积的定义是：；(3)空间向量数量积的运算律有哪些？有哪些性质？；(4)空间向量的夹角、数量积的定义、性质与平面向量的对应定义和性质有什么不同？思考要求ab的值，应知道哪些量的值？名师指津：要求ab，应知道|a|，|b|及a，b的值讲一讲1如图所示，在棱长为1的正四面体ABC
4、D中，E，F分别是AB，AD的中点，求值： 求向量的数量积的关键是求两个向量的模和夹角，而该题目所给的四面体各棱长均为1，每个面都是三角形，每个角都是60，因此可结合这一特点进行分解，然后再具体求解数量积的值练一练1如图所示，已知正四面体OABC的棱长为a，求：解：(1) aacos 60a2.(2) a2a2cos 602a2cos 60a2cos 60a22a2cos 60a2. 思考1若向量与的夹角为，直线AB与CD所成的角为，则一定成立吗？名师指津：不一定或.思考2怎样利用数量积求直线的夹角或余弦值？名师指津：cos_|cosa，b|思考3如何利用数量积证明两个非零向量a和b互相垂直？
5、名师指津：ab0ab.讲一讲2如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值即OA与BC所成角的余弦值为.利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；利用向量的数量积求角的大小；证明两向量垂直可转化为数量积为零练一练2如图，BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，ABB1A1，BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角所以异面直线BA1与AC成60角思考若A，B是空间中两个不同的点，则|的几
6、何意义是什么？名师指津：|的几何意义是指A，B两点间的距离讲一讲3正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长思路点拨求EF的长，可转化为求的模尝试解答如图所示，设a，b，c.由题意知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90.a2b2c22222222222cos 6011415，所以|EF|.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可练一练3如图所示，平
7、行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长课堂归纳感悟提升1本节课的重点是空间两非零向量的数量积的运算及应用，难点是空间向量夹角或余弦值的求法2本节课要重点掌握的规律方法(1)空间两非零向量的数量积的求法，见讲1；(2)利用空间向量的数量积求异面直线所成的角及空间两点间的距离，见讲2和讲3.3求异面直线所成的角(或余弦值)时，易忽视向量的夹角与异面直线所成角的区别，这也是本节课的易错点课时达标训练（十六） 即时达标对点练题组1空间向量数量积的运算1已知向量a和b的夹角为120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a等于()A12
8、B8 C4 D13解析：选D(2ab)a2a2ba2|a|2|a|b|cos 120242513.2在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，则_答案：3已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点试计算：解：如图， c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1) b|b|24216.(2) (ac)|c|2|a|222220.(3) (abc)|a|2|b|22.题组2利用数量积求夹角4已知|a|1，|b|，且ab与a垂直，则a与b的夹角为()A60 B30 C135 D45解析：
9、选Dab与a垂直，(ab)a0，aaab|a|2|a|b|cosa，b11cosa，b0，cosa，b.0a，b180，a，b45.5已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是()A30 B45 C60 D90a与b所成的角是60.6如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC，ABAD，且PAABBCAD1，求PB与CD所成的角解：由题意知PA平面ABCD，7如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MNAB，MNCD.题组3利用数量积求距离8已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中
10、，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线AC1的长为()A. B2 C. D.9已知平行四边形ABCD中，AD4，CD3，D60，PA平面ABCD，且PA6，则PC_解析：则|PC|7.答案：710在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|2|AM|，|CN|ND|，求|MN|.即|MN|a.能力提升综合练1下列各命题中，不正确的命题的个数为()|a|；m(a)b(m)ab(m、R)；a(bc)(bc)a；a2bb2a.A4 B3 C2 D1解析：选Daa|a|2，|a|，故正确m(a)b(ma)bmab(m)ab，故正确
11、a(bc)abac，(bc)abacaabaca(bc)，故正确a2b|a|2b，b2a|b|2a，故不一定正确2在ABC中，b，若ab0，则ABC是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定解析：选Aab|a|b|cos0，cos0，即BAC为钝角，ABC为钝角三角形3已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()解析：选A用排除法，因为PA平面ABCD，所以PACD，故0，排除D；因为ADAB，PAAD，又PAABA，所以AD平面PAB，所以ADPB，故，排除B，同理0，排除C.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：；0；的夹角为60；正方体的体积为|.其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析：选B如图所示， 5如图所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离6如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长又ABC为正三角形，