1、25.2离散型随机变量的方差与标准差1.了解离散型随机变量的方差的实际背景2.理解离散型随机变量的方差的概念与意义3掌握离散型随机变量的方差与标准差的计算与应用1离散型随机变量的方差和标准差(1)方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下：Xx1x2xnPp1p2pn则(xi)2(E(X)描述了xi(i1，2，n)相对于均值的偏离程度，故(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn(其中pi0，i1，2，n，p1p2pn1)刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或2，即V(X)2(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn，其中，pi0，i1，2
2、，n，p1p2pn1.(2)标准差随机变量X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即.2两点分布、超几何分布、二项分布的方差(1)若X01分布，则V(X)p(1p)；(2)若XH(n，M，N)，则V(X)；(3)若XB(n，p)，则V(X)np(1p)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定()(2)若a是常数，则V(a)0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度()答案：(1)(2)(3)2已知X的分布列为X1234P则V(X)的值为()A.B.C.D.答案：C3已知X的分布列为X012P设Y2X3，则V(Y)_答案：求
3、离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1，2，3，4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号求的概率分布、均值和方差【解】由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).故的概率分布为01234P所以E()012341.5，V()(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.求随机变量的方差一般是列出概率分布，求出期望，再利用方差的定义求解 1.已知随机变量的概率分布为：01xPp若E()，则V()的值为_解析：由概率分布的性质，得p1，解得p.因为E()01x，所
4、以x2.V()(0)2(1)2(2)2.答案：两点分布与二项分布的方差某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求投篮1次时，命中次数X的均值与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值与方差【解】(1)法一：投篮一次命中次数X的概率分布如下表所示：X01P0.40.6则E(X)00.410.60.6，V(X)(00.6)20.4(10.6)20.60.24.法二：由题意知X服从两点分布，故E(X)0.6，V(X)0.60.40.24.(2)由题意知重复5次投篮命中的次数Y服从二项分布，即YB(5，0.6)由二项分布的均值与方差的公式得E(Y)50.63，V(Y)50.60.41.2.(1)投篮
5、、射击、抽样(大数量)等问题，由于是n次独立重复试验，发生的次数X服从二项分布，故可利用服从二项分布的均值、方差的计算公式E(X)np，V(X)np(1p)求解 (2)对于服从两点分布、二项分布的随机变量的数学期望与方差问题，可直接利用公式求解2.一名学生在军训中练习射击项目，他命中目标的概率是，共射击6次(1)求在第三次射击时首次命中目标的概率；(2)求他在射击过程中命中目标数的期望与方差解：(1)第三次射击时首次命中，意思是第一、二次都未命中而第三次命中，这是相互独立事件同时发生的概率又因为p，1p，所以P.(2)他在每次射击中目标是否命中是相互独立的，所以是进行了6次独立重复试验，随机变
6、量服从二项分布，即B.由服从二项分布的期望与方差的计算公式知E()np62，V()np(1p)6.均值、方差的综合应用现从甲、乙两个技工中选派一人参加技术比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出现次品的个数X1，X2的概率分布如下：X10123P0.20.40.30.1X20123P0.30.30.20.2根据以上条件，选派谁去合适呢？【解】根据概率分布可得，E(X1)00.210.420.330.11.3，E(X2)00.310.320.230.21.3，因为E(X1)E(X2)，所以技工甲与乙出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考虑稳定性V(X1)(01.3)20.2(11.3)
7、20.4(21.3)20.3(31.3)20.10.81；V(X2)(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21；因为V(X1)V()，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定(2)由离散型随机变量的概率分布的性质可知a0.10.61，得a0.3.同理0.3b0.31，得b0.4.E(X)10.320.130.62.3，E(Y)10.320.430.32，V(X)(12.3)20.3(22.3)20.1(32.3)20.60.81，V(Y)(12)20.3(22
8、)20.4(32)20.30.6.由于E(X)E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但V(X)V(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势1方差与标准差的作用随机变量的方差与标准差一样，都是反映随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散程度的，方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越不集中，稳定性越差，波动性越大2随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差某农科院对两个优良品种
9、甲、乙在相同的条件下，进行对比实验，100公顷的产量列表如下：甲每公顷产量(吨)9.49.59.810.2公顷数11324215乙每公顷产量(吨)9.29.51011公顷数35203510试判断这两个品种哪一个较好？【解】设甲品种每公顷产量为X甲，将频率看作概率，则X 甲的概率分布为X甲9.49.59.810.2P0.110.320.420.15由上表可得E(X甲)9.40.119.50.329.80.4210.20.159.72.同理可以计算出E(X乙)9.20.359.50.2100.35110.19.72.所以V(X甲)(9.49.72)20.11(9.59.72)20.32(9.89.
10、72)20.42(10.29.72)20.150.064.V(X乙)(9.29.72)20.35(9.59.72)20.2(109.72)20.35(119.72)20.10.295 6，由E(X甲)E(X乙)，V(X甲)V(X乙)得甲品种质量更好一点(1)对于如何评价两个品种的质量的标准只是停在用均值来比较，误以为均值相同即质量相同，忽视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察(2)当我们希望实际的平均水平比较理想时，则先求它们的均值，但不要误认为均值相等时，它们都一样好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定(即计算方差的大小)，稳定者就更好如果我们希望比较稳定时，这时
11、应先考虑方差，再考虑均值是否接近即可1已知某离散型随机变量X服从的分布列如下表所示，则随机变量X的方差V(X)等于()X01Pm2mA.B.C.D.解析：选B.由题意可知：m2m1，所以m，所以E(X)01，所以V(X).2设随机变量z服从二项分布B(6，)，则V(z)_解析：V(z)6.答案：3一牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率为0.02，若发病的牛数为头，则V()等于_解析：因为B(10，0.02)，所以V()100.020.980.196.答案：0.196 A基础达标1设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)m，令随机变量则的方差V()等于()AmB2
12、m(1m)Cm(m1)Dm(1m)解析：选D.随机变量的分布列为：01P1mm所以E()0(1m)1mm.所以V()(0m)2(1m)(1m)2mm(1m)2如果X是离散型随机变量，E(X)6，V(X)0.5，X12X5，那么E(X1)和V(X1)分别是()AE(X1)12，V(X1)1BE(X1)7，V(X1)1CE(X1)12，V(X1)2DE(X1)7，V(X1)2解析：选D.E(X1)2E(X)51257，V(X1)4V(X)40.52.3抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分X的均值与方差分别为()AE(X)0，V(X)1BE(X)，V(X)CE(X)0，V(X)D
13、E(X)，V(X)1解析：选A.由题意知，随机变量X的分布列为X11P所以E(X)(1)10，V(X)(10)2(10)21.4已知X的分布列如下表所示：X101P则下列式子：E(X)；V(X)；P(X0).其中正确的有()A0个B1个C2个D3个解析：选C.由分布列知P(X0)，E(X)(1)01，V(X)，故只有正确5设随机变量的分布列为P(k)C，k0，1，2，n，且E()24，则V()的值为()A8B12C.D16解析：选A.由题意可知B(n，)，所以nE()24.所以n36.所以V()n368.6若X是离散型随机变量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，又已知E(X)，V(X)，
14、则x1x2的值为_解析：由已知得，即.解得或.又x1x2，所以，所以x1x23.答案：37一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a，b，c(0，1)已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为_解析：由已知3a2b0c1，所以3a2b1，所以ab3a2b，当且仅当a，b时取“”答案：8设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_解析：由独立重复试验的方差公式可以得到V()np(1p)n()2，等号在p1p时成立，所以V()max10025，max5.答案：59编号1，2，3的
15、三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是X.(1)求随机变量X的概率分布；(2)求随机变量X的数学期望和方差解：(1)P(X0)，P(X1)，P(X3)，所以随机变量X的概率分布为：X013P(2)E(X)0131.V(X)(01)2(11)2(31)21.10根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y的均值与方
16、差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2.P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13；V(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X300)1P(X300)0.
17、7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X300)P(X900|X300).故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.B能力提升1若B(n，p)，且E()6，V()3，则P(1)的值为_解析：由，所以.所以P(1)C3210.答案：32102从一批含有13只正品，2只次品的产品中，有放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为X，则V(5X1)_.解析：因为XB，E(X)3，所以V(X)，所以V(5X1).答案：3盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球设取出白球的个数为.(1)求取出白球的个数的数
18、学期望；(2)求取出白球的个数的方差解：(1)取出白球的个数的可能值为0，1，2.0表示取出的两个球都是黑球，P(0)；1表示取出的两个球一个黑球，一个白球，P(1)；2表示取出的两个球都是白球，P(2).于是E()0121.2.(2)V()(01.2)2(11.2)2(21.2)20.36.4某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者(1)所选3人中女生人数为X，求X的概率分布及方差；(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率解：(1)X的可能取值为0，1，2.由题意P(X0)，P(X1)，P(X2)，所以X的概率分布为X012PE(X)0121，V(X)(01)2(11)2(21)2.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C，男生甲被选中的种数为C10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C4，所以P(C)，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.5甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，次品数分别为X1，X2，且X1和X2的分布列为X1012PX2012P试比较两名工人谁的技术水平更高解：E(X1)0120.7，E(X2)0120.7，V(X1)0.81，V(X2)0.61，E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)乙工人的技术比较稳定，所以水平更高
