1、专题研究二 最值与范围例 1 已知 P 为抛物线 y14x2 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M，点 A 的坐标是(2,0)，则|PA|PM|的最小值是_【解析】如图，抛物线 y14x2，即 x24y 的焦点为 F(0,1)，记点 P 在抛物线的准线 l：y1 上的投影为 P，根据抛物线的定义知，|PP|PF|，则|PP|PA|PF|PA|AF|2212 5.所以(|PA|PM|)min(|PA|PP|1)min 51.【答案】51【讲评】一看到本题，不少同学可能会依常理“出牌”构造函数，将问题转化为求函数的最值，然而其最值很难求得，这也恰恰落入了命题者有意设置的“圈套”之中事实上，与
2、抛物线的焦点(或准线)相关的最值问题，更多的是考虑数形结合，利用抛物线的定义进行转化，然后再利用三点共线或三角形的三边关系加以处理探究 1 圆锥曲线中最值的求法有两种：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等思考题 1 已知点 P 在直线 xy50 上，点 Q 在抛物线y22x 上，则|PQ|的最小值等于_【解析】设与直线 xy50 平行且与抛物线 y22x 相切的直线方
3、程是 xym0，则由xym0，y22x，消去 x 得 y22y2m0，令 48m0，得 m12，因此|PQ|的最小值等于直线 xy50 与 xy120 间的距离，即等于|512|2 9 24.例 2 椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设存在斜率的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 32，求AOB 面积的最大值【解析】(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意ca 63，a 3，b1，所求椭圆方程为x23y21.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)当 ABx 轴时，|
4、AB|3.当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ykxm.由已知|m|1k2 32，得 m234(k21)把 ykxm 代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230.x1x26km3k21，x1x23m213k21.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)36k2m23k21212m213k2112k213k21m23k2123k219k213k212312k29k46k213129k21k26(k0)3122364.当且仅当 9k21k2，即 k 33 时等号成立当 k0 时，|AB|3，综上所述|AB|max2.当|AB|最大时，AOB 面积取最大值S12|A
5、B|max 32 32.思考题 2 已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x23y24 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1.(1)当直线 BD 过点(0,1)时，求直线 AC 的方程；(2)当ABC60时，求菱形 ABCD 面积的最大值【解析】(1)由题意得直线 BD 的方程为 yx1.因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.于是可设直线 AC 的方程为 yxn.由x23y24，yxn，得 4x26nx3n240.因为 A，C 在椭圆上，所以 12n2640，解得4 33 n4 33.设 A，C 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1x23n2，x1x23n24
6、4，y1x1n，y2x2n.所以 y1y2n2.所以 AC 的中点坐标为3n4，n4.由四边形 ABCD 为菱形可知，点3n4，n4 在直线 yx1 上所以n43n4 1，解得 n2.所以直线 AC 的方程为 yx2，即 xy20.(2)因为四边形 ABCD 为菱形，且ABC60，所以|AB|BC|CA|.则菱形 ABCD 的面积 S 32|AC|2.由(1)可得|AC|2(x1x2)2(y1y2)23n2162，所以 S 34(3n216)4 33 n3)，直线 l 过点 M(1,0)交曲线 C 于 A，B 两点，点 P 是 AB 的中点，EP 是 AB 的中垂线，E 点的坐标为(x0,0)
7、，试求 x0 的取值范围【解析】由题意可知，直线 l 与 x 轴不垂直，可设 l：yk(x1)，代入曲线 C 的方程，得k2x22(2k2)xk20(30，|k|32，解之得 k1，32 32，1.由方程得 xAxB2k22k2，xP12(xAxB)k22k2，yPk(xP1)2k，所以直线 EP 的方程为 y2k1kxk22k2.令 y0，得 x012k2.34k21，113 x00)的焦点 F，并与其相交于 A、B 两点，Q 是线段 AB 的中点，M 是抛物线的准线与 y 轴的交点，O 是坐标原点(1)求MA MB 的取值范围；(2)过 A、B 两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于 N点
8、求证：MN OF 0，NQ OF；(3)若 p 是不为 1 的正整数，当MA MB 4p2，ABN 的面积的取值范围为5 5，20 5时，求该抛物线的方程【解析】(1)由条件得 M0，p2，F0，p2，设直线 AB的方程为 ykxp2，A(x1，y1)，B(x2，y2)则 x212py1，x222py2，Qx1x22，y1y22.由ykxp2，x22py，得 x22pkxp20.由韦达定理，得 x1x22pk，x1x2p2.从而有 y1y2x21x224p2p24，y1y2k(x1x2)p2pk2p.MA MB x1x2y1p2 y2p2 p2k20，MA MB 的取值范围是0，)(2)抛物线
9、方程可化为 y 12px2，求导得 y1px.kNAyx1p，kNByx2p.切线 NA 的方程为 yx212px1p(xx1)，即 yx1pxx212p.切线 NB 的方程为 yx2pxx222p.由 yx1pxx212p，yx2pxx222p，解得xx1x22，yx1x22p.Nx1x22，x1x22p.从而可知 N 点、Q 点的横坐标相同但纵坐标不同NQ OF.又由(1)知 x1x22pk，x1x2p2，Npk，p2，而 M0，p2，MN(pk,0)又OF 0，p2，MN OF 0.(3)由MA MB 4p2，又根据(1)知MA MB p2k2，4p2p2k2，而 p0，k24，k2.由
10、于NF(pk，p)，AB(x2x1，y2y1)(x2x1)1，x1x22p(x2x1)(1，k)NFAB(pk，p)(x2x1)(1，k)(x2x1)(pkpk)0.从而NFAB，又|NF|p2k2p2 5p，|AB|y1y2p2pk22p10p.SABN12|NF|AB|12 5p10p5 5p2.而 SABN 的取值范围是5 5，20 5，5 55 5p220 5，1p24.而 p0，1p2.又 p 是不为 1 的正整数，p2.故抛物线的方程 x24y.例 4 已知点 G 是ABC 的重心，A(0，1)，B(0,1)，在 x轴上有一点 M，满足|MA|MC|，GM AB(R)(1)求点 C
11、 的轨迹方程；(2)若斜率为 k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点 P、Q，且满足|AP|AQ|，试求 k 的取值范围【解析】(1)设 C(x，y)，则 G(x3，y3)因为GM AB(R)，所以 GMAB.又 M 是 x 轴上一点，则 M(x3，0)又|MA|MC|，所以x32012x3x2y2，整理得x23y21(x0)，此即为点 C 的轨迹方程(2)当 k0 时，l 和椭圆 C 有两个不同交点 P、Q，根据椭圆的对称性有|AP|AQ|.当 k0 时，可设 l 的方程为 ykxm，联立方程组ykxm，x23y21，消去 y，整理得(13k2)x26kmx3(m21)0.因为直线 l
12、 和椭圆 C 交于不同两点，所以(6km)24(13k2)3(m21)0，即 13k2m20.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1，x2 是方程的两相异实根，所以 x1x2 6km13k2，x1x23m2113k2.则 PQ 的中点 N(x0，y0)的坐标是x0 x1x22 3km13k2，y0kx0mm13k2，即 N(3km13k2，m13k2)又|AP|AQ|，所以ANPQ，所以 kkANkm13k21 3km13k21.所以 m13k22，将 m13k22代入，得 13k2(13k22)20(k0)，即 k2b0)的左、右顶点分别为 A、B，点 P 在椭圆上且异于 A，B
13、两点，O 为坐标原点(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为12，求椭圆的离心率；(2)若|AP|OA|，证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|3.【解析】(1)设点 P 的坐标为(x0，y0)由题意，有x20a2y20b21.由 A(a,0)，B(a,0)，得 kAP y0 x0a，kBP y0 x0a.由 kAPkBP12，可得 x20a22y20，代入并整理得(a22b2)y200.由于 y00，故 a22b2.于是 e2a2b2a212，所以椭圆的离心率 e 22.(2)方法一 依题意，直线 OP 的方程为 ykx，设点 P 的坐标为(x0，y0)由条件得y0kx0，x20a2y20
14、b21.消去 y0 并整理得 x20a2b2k2a2b2.由|AP|OA|，A(a,0)及 y0kx0，得(x0a)2k2x20a2.整理得(1k2)x202ax00.而 x00，于是 x02a1k2，代入，整理得(1k2)24k2(ab)24.由 ab0，故(1k2)24k24，即 k214.因此 k23，所以|k|3.方法二 依题意，直线 OP 的方程为 ykx，可设点 P 的坐标为(x0，kx0)由点 P 在椭圆上，有x20a2k2x20b2 1.因为 ab0，kx00，所以x20a2k2x20a2 1，即(1k2)x20a2.由|AP|OA|，A(a,0)，得(x0a)2k2x20a2，整理得(1k2)x202ax00，于是 x02a1k2.代入，得(1k2)4a21k223，所以|k|3.课时作业（七十）