1、13组合1.了解组合的概念2.理解组合数的计算公式及其推导应用3.掌握解决简单组合的实际问题1组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2组合数的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示3组合数公式(1)C，这里m，nN*，并且mn.一般用于求值计算(2)C，一般用于化简证明4组合数的性质(1)CC_(规定C1)(2)CCC_1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C.()(2)从1，
2、3，5，7中任取两个数相乘可得C个积()(3)C54360.()(4)CC2 017.()答案：(1)(2)(3)(4)2下面几个问题属于组合的是()由1，2，3，4构成双元素集合；5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；由1，2，3构成两位数的方法；由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法ABC D解析：选C.由集合元素的无序性可知属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故是组合问题；中两位数顺序不同数字不同为排列问题3若A8C，则n的值为()A6B7C8D9答案：A4甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是_答案：3组合概
3、念的理解下列问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一项工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两项不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需要赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军(不允许并列)，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？【解】(1)2名学生完成的是同一工作，没有顺序，是组合问题(2)2名学生完成两项不同的工作，有顺序，是排列问题(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是
4、组合问题(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题(5)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题所以(2)(4)(5)是排列问题，(1)(3)是组合问题判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是 组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关由此可知，定序问题属于组合，即排列时，如果限定某些元素保持规定的顺序，则定序的这n个元素属于组合问题1.从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，列出所有组合解：要想列
5、出所有组合，做到不重不漏，应先将元素按照一定的顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标出来如图所示：由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.组合数公式及性质的简单应用(1)计算：CC；(2)计算：CCCC；(3)解方程：Cx23x216C；3C5A.【解】(1)CCCC2004 9502005 150.(2)CCCCCCCCCCCC5 985.(3)因为Cx23x216C，所以x23x25x5或(x23x2)(5x5)16，即x22x30或x28x90，所以x1或x3或x9或x1.经检验：x3或x9不合题意舍去故原方程的解是x11，x21.由排
6、列数和组合数公式，原方程可化为35，则，即为(x3)(x6)40.所以x29x220，解之可得x11或x2(舍去)所以方程的根为x11.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用CC进行计算 (2)涉及字母的可以用阶乘式C计算(3)计算时应注意利用组合数的性质CC简化运算2.(1)已知，求n的值；(2)已知求x，n的值解：(1)原方程可变形为1，所以CC，即，化简整理得n23n540，解得n9或n6(不合题意，舍去)，所以n9.(2)由题意知xN*，因为CCC，所以nx2x或nx2xn(舍去)，所以n3x.由CC，得，整理得3(nx1)(nx)11(x1)x.将n3x代入上式并整理
7、，得6x(2x1)11x(x1)因为xN*，所以6(2x1)11(x1)，解得x5，则n3x15.有关组合的应用题已知有8名男生和5名女生，从中任选6人(1)有多少种不同的选法？(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？(4)其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？【解】(1)是无限制条件的组合问题适合题意的方法总数为C1 716(种)(2)是有限制条件的组合问题第一步：选出女生，有C种；第二步：选出男生，有C种根据分步计数原理，适合题意的选法有CC560(种)(3)是有限制条件的组合问题至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2名女生，3名女生
8、四种情况第一类：没有女生，有C种；第二类：1名女生，有CC种；第三类：2名女生，有CC种；第四类：3名女生，有CC种根据分类计数原理，适合题意的选法共有CCCCCCC1 568(种)(4)是有限制条件的组合问题用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生的情况，即得到符合题意的情况，由题意可知，不可能6人全是女生，所以只需排除全是男生的情况，因此适合题意的选法共有CC1 716281 688(种)(1)组合问题的常见题型有“必选问题”“不选问题”“恰选问题”“至多问题”“至少问题”“既有又有问题”，在解题时应加以区别，正确解答(2)“至多问题”“至少问题”“既有又有问题”一般都有直接法和间接法两种
9、做法，应根据具体情况选择，如本例第(3)问使用了直接法，第(4)问使用了间接法 3.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C45.(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2名是女教师有C种方法根据分类计数原理，共有CC15621种不同选法1组合定义再理解(1)组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的(2)无序性是组合的特点，取出的m个
10、元素是不讲顺序的，也就是说元素没有位置的要求(3)只要两个组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合2组合与排列的相同点和不同点相同点：都要从“n个不同元素中取出m个元素”不同点：组合是“不管顺序合成一组”，而排列是“按照一定顺序排成一列”3应用组合数公式的注意问题(1)组合数公式是在n，mN*，并且mn时成立，mn时不成立(2)C1是一种规定，不能用组合数的定义进行解释在桥上有12个固定的哨位，但平时只派9人执勤，规定两端的哨位必须有人执勤，也不能让相邻哨位都空岗，则不同的排岗方法有_【解析】将3个空岗插入9个实岗的8个空隙
11、之间，有C种插法，每一种插法都对应着一种排岗方法，因此一共有C56种排岗方法【答案】56(1)理不清题意，误把组合问题视为排列问题解决而致误对题目的限制条件，“9人执勤”“两端必有人”“空岗不相邻”不会采用妥善的处理方法，从而望洋兴叹忽略某些限制条件，考虑不周而致误(2)牢固掌握排列、组合的概念，理清二者的区别与联系掌握解排列、组合问题中不相邻问题时的插空策略，弄清先排哪些元素，再插哪些元素1若CC，则n等于()A3B5C3或5D15解析：选C.由组合数的性质得n2n3或n2n312，解得n3或n5，故选C.2计算CC的值为_解析：由题意得，所以7r11.r7时，CC211；r8时，CC130
12、；r9时，CC2C90；r10时，CC130；r11时，CC211.答案：211或130或903将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有_种解析：先安排老师有A2种方法，再安排学生有C6，所以共有12种安排方案答案：124从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)解析：由题意知，所有可能的决赛结果有CCC6160(种)答案：60 A基础达标1楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有()A72种B84种C120种D168种解析：选
13、C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C120(种)2方程CC的解为()A4或9B4C9D5解析：选A.当x3x8时，解得x4；当28x3x8时，解得x9.3将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有()A24种B12种C10种D9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有26112种故选B.4化简C2CC等于()ACBCCCDC解析：选B.由组合数的性质知，C
14、2CC(CC)(CC)CCC.5男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()A2人或3人B3人或4人C3人D4人解析：选A.设男生有n人，则女生有(8n)人，由题意可得CC30，解得n5或n6，代入验证，可知女生为2人或3人故选A.6已知，则m的值为_解析：依题意知m的取值范围是m|0m5，mN*原方程可化为，即m223m420，解得m21或m2.因为m0，5，mN*，所以m2.答案：2710个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为_(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C210种
15、分法答案：2108某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有_种解析：从10人中选派4人有C种方法，对选出的4人具体安排会议有CC种方法，由分步计数原理知，不同的选派方法有CCC2 520种答案：2 5209一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球：(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？(4)以上三个问题有什么关系？解：(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法种数是CC56.(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球
16、，可以分两步完成：第一步，从7个白球中任取4个白球，有C种取法；第二步，把1个红球取出，有C种取法由分步计数原理，不同取法种数是CCCC35.(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需要从7个白球中任取5个白球即可，不同取法种数有CC21.(4)从上面三个小题的答案可以得出等式CCC.10先判断以下问题是组合问题还是排列问题，然后再计算所问的结果(1)集合0，1，2，3，4的含三个元素的子集的个数是多少？(2)用没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段？如果连成有向线段，共有多少条？(3)某小组有9名同学，从中选出正副班长各一人，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种
17、不同的选法？解：(1)由于集合中的元素是不讲次序的，集合0，1，2，3，4的含三个元素的子集就是从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合这是组合问题，组合的个数是C10，所以所求子集的个数是10.(2)由5个点中取两个点恰好连成一条线段，不用考虑这两个点的次序，所以是组合问题，组合数是C10，连成的线段共有10条再考虑有向线段问题，这时两个点的先后排列次序对应两条不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A5420，所以有向线段共有20条(3)选正副班长时要考虑次序，所以是排列问题排列数是A9872，所以选正副班长共有72种选法选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题组合数是C36，所以
18、不同的选法有36种B能力提升1式子CC(mN*)的值的个数为()A1B2C3D4解析：选A.由得7m8，所以m7或8.当m7时，原式CC.当m8时，原式CC，故原式的值只有一个212名同学进行队列训练，站成前排4人后排8人，现教官要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法有_种解析：先选人再排队，选人的方法有C种，第一个同学有5种排法，第二个同学有6种排法，由分步计数原理得不同的调整方法有CA840(种)答案：8403男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人选派5人外出比赛在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运
19、动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员解：(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法，第二步：选2名女运动员，有C种选法共有CC120种选法(2)法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类计数原理可得总选法数为CCCCCCCC246(种)法二：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种所以“至少有1名女运动员”的选法为CC246(种)(3)法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为C种，“只有女队长”的选法为C种，“男、女队长都入选”的选法为C种，所以共
20、有2CC196种选法法二：间接法：从10人中任选5人有C种选法，其中不选队长的选法有C种，所以“队长中至少有1人参加”的选法为CC196(种)(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有CC种所以既有队长又有女运动员的选法共有CCC191(种)4(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场综上，共有48842264场比赛