1、高考资源网（） 您身边的高考专家12排列第1课时排列与排列数公式1.了解排列及排列数的意义2.理解排列数公式的推导并应用3.掌握排列数公式并会运用1排列的定义一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2排列数一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示3排列数公式An(n1)(n2)(nm1)，其中n，mN*，且mn.4全排列与n的阶乘(1)n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，在排列数公式中，当mn时，即有An(n1)(n2)
2、321(2)正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，即有An！.5排列数公式的阶乘形式A(nm)，规定0！11判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列()(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现()(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化()(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列()答案：(1)(2)(3)(4)2下面问题中，是排列问题的是()A由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数B从60人中选11人组成足球队C从100人中选2人抽样调查D从1，2，3，4，5中选2个数组成集合答案：A3从甲
3、、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为_答案：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙4A_，A_答案：126排列的有关概念判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信【解】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中
4、每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题判断一个具体问题是否为排列问题的方法 1.判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个
5、数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题“树形图”解决排列问题四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来【解】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步计数原理，有432124种画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，
6、BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.1若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法2若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CA
7、DB，CBDA，DACB，DBCA共12种利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列 2.将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙三人，每人一本，共有多少种不同的分法？请将它们列举出来解：按分步计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法故共有3216种不同的分法列出树
8、形图，如下：所以，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英，语英数，数语英，数英语，英语数，英数语排列数公式及其应用(1)计算；(2)解方程3A2A6A.【解】(1)1.(2)由3A2A6A，得3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)因为x3，且xN*，所以3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100.解得x5，x(舍去)所以x5.利用排列数公式An(n1)(n2)(nm1)或A解题时，要注意题目特点，当m较小时，用公式较方便，第个公式常用在化简或证明问题中 3.已知3A4A，则n等于_解析：由已知，即1，因为n9，所以解得n7.答案：71排列定义的两个要素一是“取出元素”，二是“
9、将元素按一定顺序排列”，这是排列的两个要素2对排列数公式的说明(1)这个公式是在m，nN*，mn的情况下成立的，mn时不成立(2)公式右边是m个数的连乘积，形式较复杂，其特点是：从n开始，依次递减1，连乘m个3排列与排列数的区别排列与排列数是两个不同的概念，一个排列就是完成一件事的一种方法，不是数；排列数是指所有排列的个数，它是一个数符号A中，m，n均为正整数，且mn，A是一个整体10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？【解】坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从
10、10个元素中取6个元素占据6个不同的位置显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题从而，共有A151 200(种)坐法(1)本题易出现以下错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法该错解是没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一个，是从10个人中取出6个人的一个排列问题(2)在用排列数公式求解时需先对问题是否是排列问题做出判断1456(n1)n等于()AABACn！4!DA解析：选D.456(n1)n中共有n41n3个因式，最大数为n，最小数为4，故456(n1)nA.2从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成
11、不同的两位数有()A9个B12个C15个D18个解析：选B.用树形图表示为：由此可知共有12个35A4A_解析：原式5543443348.答案：3484若A1095，则m_解析：10m15，得m6.答案：6 A基础达标1已知下列问题：从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；从a，b，c，d中选出3个字母；从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数其中是排列问题的有()A1个B2个C3个D4个解析：选B.由排列的定义知是排列问题2计算()A12 B24 C30D36解析：选D.76636.3若N*，且27，则(27)(
12、28)(34)等于()AABACADA解析：选D.从27到34共有34(27)18个数所以(27)(28)(34)A.4甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为()A6 B4 C8D10解析：选B.列树形图如下：5不等式An7的解集为()An|1n5B1，2，3，4C3，4D4解析：选C.由不等式An7，得(n1)(n2)n7，整理得n24n50，解得1n5.又因为n12且nN*，即n3且nN*，所以n3或n4，故不等式An7的解集为3，46AA_解析：由nN*，得n3，所以AA6！4！744.答案：7447给出的下列四个关系式中，其中正确的个数是_A；A；AnA；n！.解析：
13、不成立，成立答案：28从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成_个以b为首的不同的排列，它们分别是_解析：画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.答案：12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed9求证：1.证明：因为，所以11.所以原式得证10计算下列各题(1)A；(2)A；(3)；(4)1！22！33！nn！.解：(1)A1514210.(2)A6！654321720.(3)原式(nm)！(nm)！1.(4)因为nn！(n1)1
14、n!(n1)n！n!(n1)！n！，所以原式(2！1)(3！2！)(4！3！)(n1)！n！(n1)！1.B能力提升1若SAAAAA，则S的个位数字是()A8 B5 C3D0解析：选C.因为当n5时，A的个位数字是0，故S的个位数取决于前四个排列数又AAAA33，故选C.2若242，则满足条件的m的集合是_解析：原不等式可化为242.即2m2m42.所以，解不等式组得，7m2或1m6，又mN*，所以满足题意的m的集合为2，3，4，5，6答案：2，3，4，5，63一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解：由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，所以AA62，即(nm)(nm1)n(n1)62，所以m(2nm1)62231，因为m2nm1，且n2，m，nN*，所以解得m2，n15，故原有15个车站，现有17个车站4(选做题)A，B，C，D四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法解：假设A，B，C，D四名同学原来的位子分别为1，2，3，4号，树形图如下：换位后，原来1，2，3，4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.高考资源网版权所有，侵权必究！