1、专题研究 平面向量的综合应用例 1(2010江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，2)、B(2,3)、C(2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(ABtOC)OC 0，求 t 的值【解析】(1)ABAC(2,6)，|ABAC|22622 10，|ABAC|4 2.以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长为4 2，2 10.(2)ABtOC(32t,5t)，OC(2，1)，(ABtOC)OC 0，2(32t)(5t)0，5t11，t115.【答案】(1)BC4 2，AD2 10(2)115探究 1 用向量法解决几何问题时
2、，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，常通过平面向量基本定理、加、减法运算，向量坐标法进行转化，然后通过向量运算研究关系思考题 1(1)如图，在ABC 中，ADAB，BC 3 BD，|AD|1，则AC AD()A2 3 B.32C.33D.3【解析】AC AD(AB BC)AD AB AD BC AD BC AD 3 BD AD 3|BD|AD|cosBDA 3|AD|2 3.【答案】D(2)(2012湖南)在ABC 中，AB2，AC3，ABBC 1，则 BC()A.3B.7C2 2D.25【解析】设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.ABBC 1，即 accosB1.在ABC
3、中，根据余弦定理 b2a2c22accosB，及 ABc2，ACb3，即 a 3.【答案】A例 2 已知 O 为坐标原点，向量OA(sin，1)，OB(cos，0)，OC(sin，2)，点 P 满足ABBP.(1)记函数 f()PBCA，(8，2)，讨论函数 f()的单调性，并求其值域；(2)若 O，P，C 三点共线，求|OA OB|的值【解析】(1)AB(cossin，1)，设OP(x，y)，则BP(xcos，y)由ABBP得 x2cossin，y1，故OP(2cossin，1)PB(sincos，1)，CA(2sin，1)f()PB CA(sincos，1)(2sin，1)2sin22si
4、ncos1(sin2cos2)2sin(24)又(8，2)，故 02454.当 0242，即88时，f()单调递减；当22454，即82时，f()单调递增故函数 f()的单调递增区间为(8，2)，单调递减区间为(8，8，因为 sin(24)(22，1，故函数 f()的值域为 2，1)(2)OP(2cossin，1)，OC(sin，2)，由 O，P，C 三点共线可得(1)(sin)2(2cossin)，得 tan43，sin2 2sincossin2cos2 2tan1tan22425.|OA OB|sincos21 2sin2 745.探究 2 这类试题的难度一般不大，但解题时要细心，要正确利
5、用向量的相关知识，特别是向量中的共线、垂直关系思考题 2 设 a(1，cos)，b(sincos，2)，若(0，2)，ab15.(1)试求 sin2 及 sin，cos 的值；(2)设 f(x)5cos(2x)cos2x(xR)，试求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值【解析】(1)absincos2cossincos15，12sincos 125，sin22425.(sincos)212sincos4925.(0，2)，sincos75.sin45，cos35，sin22425.(2)f(x)5cos(2x)cos2x5cos2xcos5sin2xsincos2x3cos2x4sin2
6、xcos2x4sin2x4cos2x4 2sin(2x4)，f(x)max4 2.仅当 2x422k，即 x8k，kZ.【答案】(1)sin45，cos35，sin22425(2)f(x)max4 2 x8k，kZ例 3 在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，向量 m(2sinB,2cos2B)，n(2sin2(4B2)，1)，mn.(1)求角 B 的大小；(2)若 a 3，b1，求 c 的值【解析】(1)mn，mn0，(2sinB)2sin2(4B2)(2cos2B)(1)0.2sinB1cos(2B)cos2B20.2sinB2sin2B(12sin2B)20.sinB1
7、2.0Bb，B6.方法一 由余弦定理，得 b2a2c22accosB.c23c20，c1 或 c2.方法二 由正弦定理，得 bsinB asinA.即1123sinA，sinA 32.0A，A3或 A23.若 A3，B6，C2，c2.若 A23，则 C23 66，cb1.综上所述，c1 或 c2.【答案】(1)6(2)c1 或 c2探究 3 本例的第(1)小题，利用向量垂直的充要条件将问题转化为三角方程，使问题获得解决第(2)小题的方法一、方法二突出了余弦定理和正弦定理的应用本例不仅考查了解三角形的技巧和方法，还注重了分类讨论思想的考查思考题 3 在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C
8、 的对边，C2A，cosA34.(1)求 cosC，cosB 的值；(2)若BABC 272，求边 AC 的长【解析】(1)cosCcos2A2cos2A12(34)2118，sinC3 78，sinA 74.cosBcos(AC)sinAsinCcosAcosC 74 3 78 3418 916.(2)BABC 272，accosB272，即 ac24.又 asinA csinC，C2A，c2acosA32a.由解得 a4，c6.b2a2c22accosB1636246 91625.b5，即边 AC 的长为 5.【答案】(1)cosC18 cosB 916(2)5例 4 在ABCD 中，A(
9、1,1)，AB(6,0)，点 M 是线段 AB的中点，线段 CM 与 BD 交于点 P.(1)若AD(3,5)，求点 C 的坐标；(2)当|AB|AD|时，求点 P 的轨迹【解析】(1)设点 C 的坐标为(x0，y0)，又AC AD AB(3,5)(6,0)(9,5)，即(x01，y01)(9,5)，x010，y06，即点 C(10,6)(2)设 P(x，y)，则BPAP AB(x1，y1)(6,0)(x7，y1)，AC AM MC 12AB 3MP 12AB 3(AP 12AB)3AP AB(3(x1)，3(y1)(6,0)(3x9,3y3)|AB|AD|，ABCD 为菱形，BPAC.(x7
10、，y1)(3x9,3y3)0，即(x7)(3x9)(y1)(3y3)0.x2y210 x2y220(y1)故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2 为半径的圆去掉与直线 y1 的两个交点探究 4 向量与解析几何的综合题在近几年的高考中屡见不鲜，由于向量可以用坐标表示，于是借助于向量的有关运算技巧，可以破解解析几何中繁杂的运算问题思考题 4 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A(3,1)，B(1,3)，若点 C 满足OC OA OB，其中、R且 1，则点 C 的轨迹方程为_【解析】设 C 的坐标为(x，y)，则OC(x，y)，OA(3,1)，OB(1,3)由OC OA OB，得OC(3，3)即x3，y3.由2 得 x2y5()又因为 1，所以 x2y5.【答案】x2y50课时作业（三十二）