1、专题研究 正、余弦定理应用举例实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图)上方下方(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数例 1 如图所示，为了测量河对岸 A，B两点间的距离，在这一岸定一基线 CD，现已测出 CDa 和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求 AB 的长【解析】在ACD 中，已知 CDa，ACD60，ADC60，所以 ACa.在BCD 中，由正弦定理可得BCasin105sin45 312a.在ABC 中，已经求得
2、 AC 和 BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得 A、B 两点之间的距离为AB AC2BC22ACBCcos30 22 a.【答案】22 a探究 1 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当思考题 1 隔河看两目标 A 与 B，但不能到达，在岸边先选取相距 3 千米的 C、D 两点，同时测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A、B、C、D 在同一平面内)，求两目标 A、B 之间的距离【解析】如图所示，在A
3、CD 中，ADC30，ACD120，CAD30.ACCD 3.在BCD 中，CBD180457560.由正弦定理，可得 BC 3sin75sin60 6 22.在ABC 中，由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosBCA，即 AB2(3)2(6 22)22 3 6 22cos755.AB 5(千米)所以两目标 A、B 之间的距离为 5 千米【答案】5 千米例 2 要测底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度【解析】如图设电视塔 AB 高为 x，则在 R
4、tABC 中，由ACB45，得 BCx.在 RtADB 中，ADB30，BD 3x.在BDC 中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos120.即(3x)2x24022x40cos120，解得 x40，电视塔高为 40 米【答案】40 米探究 2 本题有两处易错点：图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，从而致错；对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错思考题 2(2010江苏理)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h4 m，仰角ABE，ADE.该小组已测得一组，的值，算出了 tan1.24，tan1.20，请
5、据此算出 H 的值【解析】由 AB Htan，BD htan，AD Htan及 ABBDAD，得Htan htan Htan，解得 Hhtantantan 41.241.241.20124.因此，算出的电视塔的高度 H 是 124 m.【答案】124 m例 3 在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距 A 处(31)n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75的方向，距离 A处 2n mile的 C处的缉私船奉命以10 3n mile/h 的速度追截走私船此时，走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【思路】
6、本例考查正弦、余弦定量的建模应用如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在 D 处相遇，则可先在ABC 中求出 BC，再在BCD 中求BCD.【解析】设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船，则有 CD10 3t，BD10t，在ABC 中，AB 31，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(31)2222(31)2cos1206.BC 6.且 sinABCACBCsinBAC 26 32 22.ABC45.BC 与正北方向垂直CBD9030120，在BCD 中，由正弦定理，得sinBCDBDsinCBDCD10tsin12010 3t12.BC
7、D30.即缉私船沿东偏北 30方向能最快追上走私船探究 3 首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点思考题 3 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量已知 AB50 m，BC120 m，于 A 处测得水深 AD80 m，于 B 处测得水深 BE200 m，于 C 处测得水深 CF110 m，求DEF 的余弦值【解析】作 DMAC 交 BE 于 N，交 CF 于 M.由题中所给数据可得
8、，DFMF2MD2 302170210 298，DE DN2EN2 5021202130，EF BEFC2BC2 9021202150.在DEF 中，由余弦定理，得cosDEFDE2EF2DF22DEEF1302150210229821301501665.【答案】1665应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤是：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解课时作业（二十八）