1、高三数学第一轮复习专题 恒成立问题与能成立问题恒成立问题与能成立问题处理方法：分离参数法。一般来说，先把所求范围的参数分离出来，写在不等式的一边，其余部分写在不等式的另一边；然后构造另一边为一个函数，求该函数最值即可。一、恒成立问题：（全称命题、所有的、任意的） 极端情况二、能成立问题：（特称命题、存在、有解） 例1.已知函数。（1）若对于，恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围；（3）若存在，使成立，求实数的取值范围。解：（1）当时，恒成立；当时，则 综合，故的取值范围是。（2）对于，恒成立在上恒成立在上恒成立 在上恒成立记，在上为增函数在上为减函数，即的取值范围为
2、。（3）存在，使成立在上能成立在上能成立的取值范围为。例2.对任意的，函数的值恒大于0，求的取值范围。解：对任意的，函数恒成立，即恒成立则 。规律总结：形如的不等式确定的范围时，要注意变换主元，即把看成主元，写成关于的函数或不等式。一般地，知道谁的范围，就把谁当成主元，求谁的范围，谁就是参数。此为“变换主元法”。例3.若不等式对于任意都成立，求实数的取值范围。分析：此为“一元二次方程根的分布”问题，可以数形结合列不等式组解决。解：设，则由题意得： 。例4.若不等式在上有解，求的取值范围。例5.若不等式在内有解，求实数的取值范围。 例6.若不等式恒成立，求取值范围。 设，为区间题型：函数增减区间
3、导致的恒成立与能成立问题。 例1函数在上是减函数，则（ ） A B。 C。 D。 解：因在上是减函数， 在恒成立。 即在恒成立。因在上，最小值为-1 （） 例2在（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。解：因在（-1，1）上是增函数， 在（-1，1）上恒成立。即在（-1，1）上恒成立。例3，若f(x)在上是增函数，求a的取值范围。解：在上恒成立。即在上恒成立。令，因g(x) 在上是递增，故注意：已知函数在某个区间上的增减性，求参数的取值范围问题，可归结为该函数的导函数在这个区间恒成立问题，最后归结为求函数最值问题；对于复杂的函数，可以构造出来求最值。练习：1已知上是单调增函数，则a的最大值为_。 2已知函数在区间1，4上是减函数，则实数a的取值范围是_。3若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是_。4若函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_。答案：1. 2. 3. 4.
