1、第十三章极限综合能力测试()本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1下列各图所表示的函数在xx0处连续的是()答案：C解析：据函数在xx0处连续的定义，可知C图所表示的函数在点xx0处连续，故选C .2li 等于()A3B.C. D6答案：B解析：li li li ，故选B.3x1是函数f(x)的()A连续点 B无定义点C不连续点 D极限不存在的点答案：C解析：lif(x)1，lif(x)1，lif(x)1.但f(
2、1)0，lif(x)f(1)4用数学归纳法证明不等式1成立，起始值n0至少应取为()A7B8C9D10答案：B解析：12，当n7时，2(1)，当n8时，2(1)，故选B.5. ()A. BC1 D1解析： .答案：A总结评述：本题主要考查了函数极限的运算，特别要注意变形技巧的使用，关键是分子、分母约去因式x1.6设正数a，b满足li (x2axb)4，则li 等于()A0 B.C. D1答案：B命题意图：考查极限的运算解析：由已知得42ab4，即b2a.则li li ，故选B.7(2009成都市诊断性检测三)若函数f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A(1，) B(1,8)C
3、(4,8) D4,8)答案：D解析：由f(x)在R上是单调递增函数知：同时成立，解不等式组得a4,8)，选D.8(2009湖北省部分重点中学高三第二次联考)等比数列an的公比为q(0|q|1)，Sn为其前n项和，若SliSn，且SSn2an，则q()A B.C. D答案：B解析：an是等比数列，其前n项和为Sn，又0|q|1，SliSnli ，而SSn2an2a1qn1(12qn13qn)，(12qn13qn)，即12qn13qn1，解得：q；故选B.9若干个正方体形状的积木按如图所示摆成塔形，上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底各边的中点，最下面的正方体的棱长为1，平放于桌面上，
4、如果所有正方体能直接看到的表面积超过7，则正方体的个数至少是()A2 B3C4 D6答案：B解析：设正方体的个数为n，从下至上正方体的棱长构成公比为的等比数列，看到的表面积S14(1()n1)1418(1()n)7，解得n2，因此正方体至少有3个，故选B.10已知f(3)2，f (3)2，则li 的值为()A4 B8C0 D不存在答案：B解析：li li li lif(3)3f(3)3li f(3)3f (3)23(2)8.11(2010山东滨州模拟)下列四个命题中，不正确的是()A若函数f(x)在xx0处连续，则f(x)f(x)B函数f(x)的不连续点是x2和x2C若函数f(x)、g(x)满
5、足f(x)g(x)0，则f(x)g(x)D. 答案：C解析：令f(x)x2，g(x)x2，但f(x)g(x) 0.但f(x)、 g(x)都不存在12(2009湖北)设(x)2na0a1xa2x2a2n1x2n1a2nx2n，则(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2()A1 B0C1 D.答案：B解析：令x1，得a0a1a2a2n1a2n(1)2n.令x1，得a0a1a2a2n1a2n(1)2n.得a0a2a4a2n，得a1a3a5a2n1(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)222 ()n0，故选B.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分
6、，请将答案填在题中的横线上。)13(2009崇文3月)极限 _.答案：4解析： CC4.14(2009湖北八校联考)设an是(3)n的展开式中x项的系数(n2、3、4、)，则 ()_.答案：18解析：an3n2C，18()， ()18(1)18.故填18.15以下五个命题：f(x)在0,1上连续；若f(x)是(a，b)内的连续函数，则f(x)在(a，b)内有最大值和最小值； 1； 4.其中，正确命题的序号是_(请把你认为正确的命题的序号都填上)答案：解析：f(x)在x0处不连续f(x)在a，b上连续，f(x)在a，b上有最值，而在(a，b)内不一定有最值 1.而 1，故极限不存在 4sinx4
7、.故正确的为.16(2009湖南四县3月)对于自然数iN*，设ai，ki3(k1)(k1,2,3，)，如a3,433(41)6，对于自然数n、m，当n2、m2时，设b(i，n)ai,1ai,2ai,3ai，n，S(m，n)b(1，n)b(2，n)b(3，n)b(m，n)，则S(10,6)_.答案：120解析：ai，ki3(k1)(k1,2,3，)构成等差数列，b(i，n)ai,1ai,2ai,3ai，nnn.S(10,6)b(1,6)b(2,6)b(10,6)666120，故填120.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17(本小题满分10分)已知l
8、i 3，求li 的值解析：依题意可知ax2bx1中必有x1这个因式ab10.又li li li (ax1)又li (ax1)a13.a4.将a4代入ab10得b5，li li 5.18(本小题满分12分)已知函数f(x)，(1)求lif(x)；(2)若lif(x)存在，求a，b的值；(3)若函数f(x)在x1处连续，求a，b所满足的条件解析：(1)x0时，的分子、分母都有极限1，lif(x)1.(2)若lif(x)存在，则lif(x)lif(x)，而lif(x)li (ax22)a2.lif(x)li li .a2，a，b可为任意实数(3)若f(x)在x1处连续，则lif(x)lif(x)f(
9、1)，则a，b.19(本小题满分12分)对于任意的自然数n，求使等式恒成立的正数a，b的值解析：当n1，n2时可得，即，解得a1，b1，下面用数学归纳法证明：当n1时，左边，右边，等式成立假设当nk(k1)时，等式成立即：成立当nk1时，左式()，当nk1时，等式成立综合可知对任意nN均成立，即a1，b1.20(本小题满分12分)已知等比数列an的公比为q，且|q|1.又知a2，a3的等比中项为4，a1，a4的等差中项为9.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bnanlogan，bn的前n项和为Tn，求li 的值解析：(1)由已知，得又an是等比数列a1a4a2a332，a1、a4
10、是方程x218x320的两根或|q|1，q2.an22n12n.(2)bnanlogann2n，Tnb1b2bn(12222n2n)2Tn(122223n2n1)得，Tn(2222n)n2n1Tn2n12n2n1.li li .21(2009河南安阳)(本小题满分12分)已知函数f(x)(ax2bxc)ex，其中e为自然对数的底，a，b，c为常数，若函数f(x)在x2处取得极值，且li 4.(1)求实数b，c的值；(2)若函数f(x)在区间1,2上是增函数，求实数a的取值范围解析：(1)f (x)(2axb)ex(ax2bxc)exax2(b2a)xbcex.由f (2)04a2(b2a)bc
11、0bc，由li 4得到：f (0)4，所以bc4，即b2，c2.(2)由题意知ax22(a1)x40在x1,2时恒成立，即a在x1,2时恒成立，设g(x)，x1,2，则g(x)在区间1,2上单调递增，所以g(x)的最大值为f(2)1，所以a1.22(2009深圳)(本小题满分12分)已知函数f(x)x2x，f (x)为函数f(x)的导函数(1)若数列an满足：a11，an1f (an)f (n)(nN*)，求数列an的通项an；(2)若数列bn满足：b1b，bn12f(bn)(nN*)当b时，数列bn是否为等差数列？若是，请求出数列bn的通项bn；若不是，请说明理由当b1时，求证： .解析：(1)f (x)2x，an1(2a)(2n)2an2n1，即an12(n1)12(an2n1)a11，数列an2n1是首项为4，公比为2的等比数列an2n142n1，即an2n12n1.(2)bn12f(bn)2bbn.bn1bn2(bn)2.当b1时，b2.假设bk，则bk1bk.由数学归纳法，得出数列bn为常数数列，是等差数列，其通项为bn.bn12bbn，bn1bn2(bn)2.当b11时，b2b1.假设bk，则bk1bk.由数学归纳法，得出数列bn(n1,2,3，)又bn12bn(bn)，.即. ().bn1， .