1、【导数】恒成立、能成立问题小题达标训练一、单选题1已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD2不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD3若不等式恒成立，则a的取值范围是（）ABCD4对于函数f(x)，一次函数g(x)axb，若f(x)g(x)恒成立，则称g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”若函数g(x)x1是函数，x0的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取值范围是()AB1，)C1，2D5已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD6已知命题：函数，且在区间上恒成立，则该命题成立的充要条件为（）ABCD7若存在两个不相等的正实数x，y，使得成立，则实数
2、m的取值范围是（）ABCD8已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD9已知函数，则实数的取值范围是（）ABC，e）D10已知函数，若时，成立，则实数a的最大值是（）A1BCD11已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（）A7B8C5D1112已知函数，若存在，使得成立，则实数k的范围是（）ABCD13若关于的不等式恒成立，则正数的取值范围是（）ABCD14已知数列满足，其中，记表示数列前n项的乘积，则（）ABCD15若函数的图象关于点对称，且对任意的，都有，则m的取值范围是（）ABCD二、多选题16已知函数，若对，恒有不等式成立，则整数k的值可能为（）A-10B-9C
3、-6D-517关于函数，下列说法正确的是（）A对任意的，B对任意的，C函数的最小值为D若存在使得不等式成立，则实数a的最大值为18对于函数，下列说法错误的是（）Af（x）在（1，e）上单调递增，在（e，）上单调递减B若方程有4个不等的实根，则C当时，D设，若对，使得成立，则19关于函数，下列说法正确的是（）A函数有且只有1个零点B函数的图象为曲线C，过原点有且仅有一条直线与曲线C相切C关于x的不等式只有两个整数解，则实数k的取值范围是D对任意两个正实数，且，若，则20若存在实数k，b使得不等式在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有（）
4、A，；B，；C，；D，；21已知函数在内连续且可导，其导函数为，且满足，恒成立，则下列命题正确的个数为（）A函数在上单调递增B时，有C曲线在点处的切线方程为D，都有22函数，下列命题中正确的是（）A若直线与曲线相切，则B当时，有C函数有两个零点D若时，总有恒成立，则23已知函数下列说法正确的是（）A对于都存在零点B若恒成立，则正实数a的最小值为C若图像与直线分别交于A，B两点，则的最小值为D存在直线与的图像分别交于A，B两点，使得在A处的切线与在B处的切线平行24多选对于函数，下列说法正确的是（）A在上单调递减B在处取得极大值CD若对任意恒成立，则25已知函数，下列结论正确的是（）A函数在上单
5、调递减B函数的最小值为2C若，分别是曲线和上的动点，则的最小值为D若对恒成立，则26已知函数，下列结论中正确的是（）A函数在时，取得极小值-1B对于，恒成立C若，则D若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为127若函数存在两个极值点，且，总有成立，则可以取的值为（）A0B1C2D328如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会达到平均速度100公里/小时上述问题转换成数学语言：是距离关于时间的函数，那么一定存在：，就是时刻的瞬时速度前提条件是函数在上连续，在内可导，且也就是在曲线的两点间作一条割线，割线的斜率就是，是与割线平行的一条切线，与曲线相切于
6、点已知对任意实数，且，不等式恒成立，若函数，则实数的可能取值为（）A8B9C10D1129某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（）A函数的图象关于原点对称B对定义域中的任意实数的值，恒有成立C函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等D对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且*30经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（）ABC的值可能是D的值可能是三、填空题31已知函数的图象上存在点使得(为自然对数的底数)，则实数的取值范围为_.32设函数，若存在实数使得成立，
7、则的取值范围是_.33若不等式在上恒成立，则的取值范围是_.34对任意，若不等式恒成立，则实数a的最大值为_35已知当时，均有不等式成立，则实数的取值范围为_.36设函数，若对任意的实数，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是_37已知函数；若存在相异的实数，使得成立，则实数的取值范围是_.38已知、，关于的不等式在上恒成立，则当取得最大值时，的取值范围是_39已知且时，恒成立，则的最小值是_40已知函数，若存在，使得，则实数a的最小值为_参考答案：1B【解析】【分析】根据不等式分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，构造新函数，求其导数，利用导数判断单调性，确定最值，可得答案.
8、【详解】由题意可知，由可得.，令，则，在上为减函数，在上为增函数，因此令，在上为增函数，故，故选：B.【点睛】本题以函数与导数为背景，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算和逻辑推理核心素养,2C【解析】【分析】分离参数，将变为，然后构造函数，即将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.【详解】由不等式对任意恒成立，此时 ，可得 恒成立，令，从而问题变为求函数的最小值或范围问题；令 ，则，当 时，当时，故，即，所以， ，当且仅当 时取等号，令，则，当 时，当时，故 ，且当时，也会取到正值，即在 时有根，即 等号
9、成立，所以，则，故 ，故选：C【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.3B【解析】【分析】把不等式转化为对x0恒成立，设，故对任意的恒成立，利用导数可求a的取值范围.【详解】解：由不等式恒成立，可知对x0恒成立.设，则该函数为上的增函数，故，故对任意的恒成立，设，则，当时，故为上的增函数，而当时，有，不合题意；当时，对任意的恒成立，当时，若，则，当时，故在为减函数，在为增函数，故，所以故 .综上：的取值范围是.故选：B
10、【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两个，其一是对x0恒成立.设，转化为对任意的恒成立；其二是说明当时，有.4B【解析】【分析】根据题意构造不等式恒成立问题，参变分离构造新函数，转化为求新函数的最值问题，构造新函数进行放缩求新函数的最值即可.【详解】由题可知在时恒成立，即在时恒成立.令，在单调递减，x0时，当且仅当x0时取等号，令，在单调递增，当且仅当x0时取等号，当且仅当x0时取等号，即.故选：B.【点睛】本题利用导数解决不等式恒成立问题，关键在于构造函数和，用于得到不等式链：.5B【解析】【分析】根据恒成立可得，构造函数，由的单调性可得，即，令，求出的最大值即可求解【详解】解：恒成立，令，易
11、知在上单调递增，令，由得，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，实数的取值范围为故选：B6C【解析】【分析】由题知，通过求导可得在上是增函数，结合条件可得函数在上是增函数，进而，即求.【详解】，令，则，即时，函数在上是增函数，要使在区间上恒成立，又，则应满足在区间上为增函数，当时，又函数在上是增函数，即.故选：C.7D【解析】【分析】将给定等式变形并构造函数，由函数的图象与垂直于y轴的直线有两个公共点推理作答.【详解】因，令，则存在两个不相等的正实数x，y，使得，即存在垂直于y轴的直线与函数的图象有两个公共点，而，当时，函数在上单调递增，则垂直于y轴的直线与函数的图象最多只有1个公共点，不
12、符合要求，当时，由得，当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，令，令，则，即在上单调递增，即，在上单调递增，则有当时，而函数在上单调递增，取，则，而，因此，存在垂直于y轴的直线()，与函数的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：涉及双变量的等式或不等式问题，把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.8D【解析】【分析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立【详解】当时，由恒成立，二次函数的对称轴为，（1）当时，在上单调递减，则恒成立，（2）当时，所以综上可知，当时，在上恒成立；当时，恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，
13、函数单增，又，所以；综上可知，的取值范围是，故选：D9D【解析】【分析】由已知得，令，求导，然后分和来研究函数的取值大于零的情况.【详解】由已知，得，令，则，可得，（1）当时，在上单调递增，成立；（2）当时，令，则令，则，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递增，成立；当时，当，在上单调递减，即在上单调递减，此时有，在上单调递减，矛盾；综上.故选：D.10B【解析】【分析】把不等式在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立,再转化为在上恒成立,是本题的关键点.【详解】由题意知：当时，恒成立,即在上恒成立,也就是在上恒成立,令则即在上单调递增，则由可得即在上恒成立,令，有，当时，单调递减；当时，
14、单调递增.故，在时取最小值则由在上恒成立,可知故实数a的最大值为故选：B11C【解析】【分析】不等式分离变量变形，然后构造函数，由导数求出最大值，构造函数，由导数求得最小值，只要即可得【详解】解：，令，则，令，解得：，当时，当时，故在上递增，在，上递减，则的最大值是，令，则，当时，此题无解，故，则时，当，当，解得：，故在递减，在，递增，则的最小值是，若成立，只需，即，即，两边取对数可得：，故的最大正整数为5，故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立问题，首先对不等式中的变量进行分离，然后引入两个函数，由可得恒成立，从而把问题转化为由导数求新函数的最值，由最值间的关系得出结论12C【解析】【分析】不
15、妨设，根据，的单调性，将不等式等价于，即，令，需在上单调递减，运用导函数得需，分离参数得，令，求出导函数，分析其导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，由此可求得实数k的范围.【详解】解：，不妨设，因为，所以在上单调递增，所以，又在上单调递增，所以，所以不等式等价于，即，令，又，所以需在上单调递减，又，所以在上，需，即，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，要使存在，使得成立，则实数k的范围是，故选：C.13A【解析】【分析】构造函数，将已知转化为，利用导数研究函数的单调性可知，且，研究函数的单调性及最值知当时，满足，又为m关于的增函数，所以.【详解】，由已知需求导，故在上单调递增，且当时，
16、；当时，；故有解，设为，即，当时，函数单减；当时，函数单增；所以令，求导故函数在上为减函数，且故当时，；当时，即当时，满足令，且，故函数为增函数，又为m关于的增函数，又，所以故选：A14D【解析】【分析】根据已知条件，应用切线法及迭代法判断的单调性及范围判断A、B；应用数学归纳法求证，再由累乘法及放缩判断C、D的正误.【详解】数形结合，作出曲线与直线的图像，如下图示：根据曲线与直线相切于， 又，而，由迭代法知：，即，故数列单调递增且，则，故A、B错误.由归纳法证明.当时，结论成立.假设当时结论成立，那么当时只需证明成立，即证，若，则，当时，递增；当时，递减；，即.当时成立，得证.而，则，C错误
17、.同理，由归纳法可证，则，D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：应用切线法、迭代法判断的单调性及取值范围，再利用数学归纳法求证，注意切线放缩的应用.15A【解析】【分析】利用对称性可得，解出，将不等式分离参数得，将作等价变形得，构造函数，通过导数求得（需先证）进而得解.【详解】由题意，即，所以，因为，所以，因为，所以，考虑函数，所以，所以函数在上单调递增，所以，所以当时，注意到，考虑函数，所以，所以当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当且仅当时可取等号，所以，所以，当且仅当时可取等号，所以，故选：A.16ABC【解析】【分析】对恒成立的目标式进行等价转化，并构造函数，利
18、用导数分析其单调性，即可求得其最大值；再解关于的不等式恒成立问题即可.【详解】由题意知对，恒有不等式成立，即恒有不等式成立，等价于令，则由，得，当时，当时，所以在上是增函数，在上是减函数因为，所以，所以在上是减函数，所以，所以因为，所以又，所以.故选：ABC【点睛】本题考察利用导数研究恒成立问题，解决问题的关键是处理双变量问题，要有主元思想，属综合困难题.17ACD【解析】【分析】A：构造函数，利用导数的性质进行判断即可；B：利用特殊值法，进行判断即可；C：利用导数的性质进行判断即可；D：利用转化法，根据特称命题与它的否命题的真假关系，结合构造函数法、导数进行判断即可.【详解】A：设，当时，单
19、调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，即，所以有，即，所以本选项正确；B： ，显然，所以本选项不正确；C：由，设当时，所以函数单调递增，所以当时，因此当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数有最小值，最小值为，因此本选项正确；D：命题：存在使得不等式成立，它的否命题为：，不等式恒成立，构造函数，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，函数有最小值，最小值为：，当时，而，所以，当时，要想恒成立，只需恒成立当， 也成立，即成立，也就是成立，构造新函数，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，函数有最大值，即，要想不等式恒成立，只需，当时，而的值域为全体实数集，显然不可能恒成立，
20、因此当时，对于，不等式恒成立，因此当时，存在使得不等式成立，所以实数a的最大值为，因此本选项结论正确，故选：ACD【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数的性质，结合存在性和任意性的定义是解题的关键.18ACD【解析】【分析】函数，,，利用导数研究函数的单调性和极值，画出图象由上述分析即可判断出正误；B方程有4个不等的实根，结合函数奇偶性以及图象特点可知四个根两两关于直线对称，可判断出正误；C由函数在单调递减，可得函数在单调递增，即可判断出正误；D设函数的值域为，函数的值域为若对，使得成立，可得，即可判断出正误【详解】函数，可得函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，其大致图象如图：由上述分
21、析可得A不正确函数为偶函数，其图象关于y轴对称，则的图象关于对称，故的有4个不等实根时，则这四个实根必两两关于对称，故，因此B正确C由函数在单调递减，可得函数在单调递增，因此当时，即，因此C不正确；D设函数的值域为，函数，的值域为，对，若对，使得成立，则,因此D不正确，故选：ACD19AD【解析】【分析】对A，通过求导可判断函数单减，再结合零点存在定理可判断正确；对B，假设存在该切线，设切点为，写出切线方程，因切线方程过原点，将原点代入，利用导数判断方程是否存在解即可；对C，利用判断在上单调递减，在上单调递增，分别求出，结合只有两整数解可求k的取值范围；对D，令，由化简得，令，通过构造，由代换
22、即可求证.【详解】对于A，因为恒成立，即函数在上单调递减，又，所以存在，使得，故A正确；对于B，设切点为，则切线方程为，又切线过原点，所以，即，令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，所以无解，故B错误；对于C，由，知在上单调递减，在上单调递增，又，且，所以不等式只有两个整数解，则两整数解必为2，3，所以，即，故C错误；对于D，令，则，所以在上单调递减，所以，即，不妨设，由已知得，即，在中令，则，即，由得，即，故D正确.故选：AD.20ABD【解析】【分析】根据“分离函数”的定义对选项进行分析，结合导数来确定正确选项.【详解】当，令，令，则，函数在上单调减，在上单调增，则恒成立，.令，则
23、，函数在上单调增，则恒成立，故有，A选项正确；，令，则，在单调递增，在上恒成立，令，则，在单调递增，在上恒成立，故有，B选项正确；当，画出的图象如下图所示，由图可知，不存在符合题意的分离函数.故C错误；当，则若存在直线满足，只有可能是两者在处的公切线，切线为，则在在上单调减，在上单调增，即恒成立，故有，D选项正确，故选：ABD21CD【解析】【分析】根据导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系逐项判断求解【详解】恒成立，等价于当时，即；当时，即对于，满足，且时，时，是满足题意的函数，但是在上为减函数，且恒为正，故A，B错误.时，时，构造函数，则，可知时，时，又为连续函数，时，即，即，曲线在处切
24、线方程为，即，故C正确；由，可得，变形为，当时，恒为正且单调递减，恒为正且单调递减，所以单调递减，即，当时，由，可得，构造函数，当时，即为在上为减函数，则可得，所以在上恒成立可知D正确，综上所述，有CD是正确的.故选：CD22BD【解析】【分析】对于A，通过求曲线过原点的切线方程，可以直接求出.对于B，首先当时，将不等式变形为.再通过求导，判断在单调性即可证得.对于C，令，方程的解的个数即为函数零点个数.对于D，将问题转化为恒成立，再构造函数，用导数研究单调性.【详解】对于A，由题意得，设过原点的直线与曲线的切点为，则，又所以切线斜率为，又因为切线过原点，所以切线斜率还可以表示为，所以，解得，
25、所以，故A错误.对于B，首先当时，将不等式变形为，再由可得，进一步化简不等式可得.所以将问题转化为，当时，.又，令解得，所以在单调递增，所以时，成立，故B正确.对于C，由题意得，令，则，解得，只有一个解，所以函数只有1个零点，故C错误.对于D，若时，总有恒成立，即恒成立，构造函数，对任意的恒成立，故在单调递增，则，恒成立，也即在区间恒成立，即，故D正确.故选：BD.23BCD【解析】【分析】利用导数求出函数的单调性即可得到函数的最小值，从而判断A；对于B利用同构的思想将不等式转化为，参变分离得，再构造函数求出参数的取值范围；依题意可得，则，再构造函数利用导数求出函数的最小值，即可判断C；根据导
26、数的几何意义得到方程，解得，即可判断D；【详解】解：对于A，因为，所以，令，存在使得，故在单调递减，在区间单调递增，的最小值为，当时，不存在零点，故A错误.对于B，不等式化为，令，则，所以在上递增，故同构可得：，即的最大值，令，则，所以时，当时，所以，所以成立，故B正确.对于C，可知，令在上递增，且，当，当，所以，故C正确.对于D，假设存在满足题意，可知，因为在在A处与在B处的切线平行所以有，即，得，故存在m符合题意，故D正确.故选：BCD24BD【解析】【分析】本题可通过求导得出，通过求解、得出函数的单调性，即可判断出A错误、B正确，然后根据以及的单调性判断出C错误，再然后令，则，最后通过求
27、出即可得出D正确.【详解】因为，所以，令，则，解得，令，则，解得，故在上单调递增，在上单调递减，A错误；的极大值为，B正确；因为，所以，C错误；对任意恒成立，即对任意恒成立，设，则，令，则，解得，令，则，解得，则在上单调递增，在上单调递减，故，D正确，故选：BD.25ACD【解析】【分析】由，求得，在上恒成立，则在上单调递增，结合，可判定A正确；根据，存在，结合单调性，求得，可判定B错误；由曲线与直线都相切于点，可判定C正确；由对恒成立，转化为，设，得到在上单调递增，转化为，可设，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.【详解】由函数，则，可得在上恒成立，则在上单调递增，而，故在上恒成立
28、，即在上单调递减，故A正确；因为，故存在，使得，所以，解得，所以当时，即函数单调递减，当时，即函数单调递增，所以，因为，所以，故B错误；对于C，曲线与直线相切于点，函数与直线相切于点，则的最小值为，故选项C正确；对于D，若对恒成立，则对恒成立，即，可设，易可知在上单调递增，则可化为，即，可设，易可知在上单调递减，在上单调递增，所以当时，则，解得，又因为，所以，故D正确.故选：ACD.26BCD【解析】【分析】利用导数研究在上单调性及最值即可判断A、B的正误；构造，应用导数研究单调性即知C的正误；构造，应用导数并结合分类讨论的方法研究上、恒成立时m的取值范围，即可判断正误.【详解】，上，即上递减
29、，则，A错误，B正确；令，则在上，即递减，时，有，C正确；，则等价于，等价于，令，则，当时，则递增，故；当时，则递减，故；当时，存在使，此时，上，则递增，；上，则递减，要使在上恒成立，则，得.综上，时，上恒成立，时上恒成立，若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1，正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：选项D，由题设不等式构造，综合应用分类讨论、导数研究恒成立对应的参数范围，进而判断不等式中参数的最值.27AB【解析】【分析】由解析式得，结合极值点知，为的两根，由韦达定理及题设不等式有，进而构造函数并研究其单调性及最值，可求的取值范围.【详解】由，为的两根，且，得，成立，即，即，令，则，在单
30、调递减，即，又，故选：AB.【点睛】关键点点睛：由的导函数及极值点有，为的两根，应用韦达定理并结合已知不等式，将问题转化为恒成立，再构造函数并利用导数求参数的范围.28BCD【解析】【分析】根据题意，问题转化为在上恒成立，进而通过分参和构造函数得到答案.【详解】由已知，恒成立，可得在上恒成立因为，所以，所以4xkxk，即4x2x+1k，整理得4x+1+4x+18k .因为，所以x+12,4令t=x+1，则t2,4，式化为4t+4t8k记gt=4t+4t8,t2,4，gt=411t2=4t+1t1t20，所以gt在2,4上单调递增，所以gt2,9，所以k9，故选：BCD29BD【解析】【分析】对
31、于A，利用函数奇偶性的定义；对于B，将不等式转化，对转化的函数求导并研究其单调性及其值域；对于C，fx=0时，求得并计算交点间距；对于D，对函数求导，求出使得函数单调递减且区间长度大于1的区间.【详解】对于A，函数的定义域为x|x0，fx=sinxexex=sinxexex=fx，为偶函数，图象关于y轴对称，故A错.对于B，由A知为偶函数，当时，exex0fx=sinxexex1sinx0令(x)=exexsinxx0，(x)=ex+excosxex+ex2，(x)0，所以在上单调递增，即恒成立.故B正确.对于C，函数的图象与轴的交点坐标为(k,0)kZ,k0，交点(,0)与(,0)的距离为2
32、，其余任意相邻两点的距离为，故C错.对于D，fx=exexcosxex+exsinxexex20，e2x(cosxsinx)cosx+sinx，当x4+2k,34+2k，kZ时，cosxsinx0，每段区间的长度为21，所以对任意常数，存在常数，a,b4+2k,34+2k，kZ，使在上单调递减且，故D正确.故选：BD.30ABC【解析】求导得fx=6x+2a，故由题意得f1=6+2a=0，f1=1+a1+b=2，即a=3,b=1，故fx=x3+3x2+x+1.进而将问题转化为mx+1，故xeex=elnxe+xxelnx+1，进而得xeexx+1+elnx+1elnxelnx+1=e，即，进而
33、得ABC满足条件.【详解】由题意可得f1=1+a1+b=2，因为fx=3x2+2ax+1，所以fx=6x+2a，所以f1=6+2a=0，解得a=3,b=1，故fx=x3+3x2+x+1.因为，所以exmxelnx+1fxx33x2+exe等价于mxeexx+1+elnx+1.设gx=exx1x0，则gx=ex10，从而在上单调递增.因为g0=0，所以gx0，即exx+1，则xeex=elnxe+xxelnx+1（当且仅当时，等号成立），从而xeexx+1+elnx+1elnxelnx+1=e，故.故选：ABC.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得fx=x3+3x2+x+1，进而将不等式恒成立问
34、题转化为mxeexx+1+elnx+1恒成立问题，再结合exx+1得xeex=elnxe+xxelnx+1，进而得.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.311,e22【解析】【分析】利用三角函数和二次函数的性质求出f(x)值域，令f(x)t，则问题转化为：存在t2,2，使得即a=ett成立，然后利用导数求出gt=ett值域即可.【详解】fx=sin2x+2cosx=cos2x+2cosx+1=cosx12+2，1cosx1，fx112+2,112+2=2,2，令f(x)t，则问题转化为：存在t2,2，使得eta=t成立，即a=ett成立.设gt=ett，则gt=et1，则当2t0时，gt0
35、，gt单调递减；当00，gt单调递增，gtmin=g0=1，又g2=2+e2，g2=e22，e222+e2，故1g(t)e22，1ae22，实数的取值范围为1,e22 .【点睛】本题关键点是求出f(x)值域，利用换元法将问题转化为一个常数函数与一个可求出值域的函数有交点的问题.32(,2+ln2)【解析】【分析】将变形为fx=2x2(exmxa)(lnx2xa)(x0)，令(x)=exmx，g(x)=lnx2x，分别研究其单调性及值域，使问题转化为(x)ming(x)max即可.【详解】由题，fx=exmaxlnx2ax=2x2(exmxa)(lnx2xa)(x0)，令(x)=exmx，则(x
36、)=exm(x1)x2，由(x)0，得，由(x)0，得，由g(x)0，得，所以在(0,e)递增，在递减，所以g(x)(,12e，若存在实数使得成立，即存在实数使得(exmxa)(lnx2xa)0成立，即存在实数使得lnx2xag(x)max，即e1m12e，解得m2+ln2，所以的取值范围为(,2+ln2).故答案为：(,2+ln2)【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将所求问题转为存在实数使得(exmxa)(lnx2xa)0恒成立，结合(x),g(x)的值域进一步转化为存在实数使得lnx2xag(x)max即可.33e2,+)【解析】【分析】将原问题转化为xex+alnxex+e20在上恒成立
37、，令t=xex（te），则t+alnt+e20在上恒成立，令f(t)=t+alnt+e20te，然后分ae和ae），则t+alnt+e20在上恒成立，令f(t)=t+alnt+e20te，则f(t)=1+at=t+atte，当ae时，f(t)0，则在递增，f(t)f(e)=e+alne+e2e2，即f(t)0恒成立，当ae时，由f(t)=0，得t=a，当eta时，f(t)a时，f(t)0，所以在e,a上递减，在a,+上递增，所以当t=a时，取得最小值，即f(t)min=f(a)=a+aln(a)+e20，令g(a)=a+aln(a)+e2（a1，所以g(a)在(,e)上为增函数，因为g(e2)
38、=e2e2lne2+e2=2e22e2=0所以当e2ae），则t+alnt+e20在上恒成立，构造函数f(t)=t+alnt+e20te，然后利用导数求解使其函数大于等于零，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题34【解析】【分析】可对原不等式进行变形，两边同除，提取同类项，即可化成有相同变量的函数关系，然后换元构造函数，通过求解函数的最小值，来确定实数a的取值范围，从而求解出答案.【详解】原不等式，可化为exx+alnxax0，即exxa(xlnx)=exxalnexx0，设，其中，则t=ex(x1)x，所以在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，所以t=exxe，所以设f(t)=t
39、alnt(te)，f(t)=1at=tat(te)时，f(t)0，在e,+)上单调递增，所以的最小值为f(t)min=f(e)=ealne=ea0，符合题意；，在e,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增，所以的最小值为f(t)min=f(a)=aalna=a(1lna)0，而ae，所以1lna0，与条件矛盾，故不成立；所以实数a的最大值为e.故答案为：e.【点睛】如果在条件给的式子中出现了exx和lnxx或xex和lnx+x这些项，我们可以将变成lnx，然后利用对数的运算进行组合，通过换元，即可消掉ex，变换成只包含一个变量的函数关系，使得题目变得简单.35,2ee.【解析】【分析】结合不等
40、式的特点，对参数进行分类谈论，构造函数，结合函数的图像与性质即可求出结果.【详解】当时，不等式2x0，不恒成立，不符合题意；当时，aex10，令f(x)=aex+2x，则f(x)=aex+2，由，解得x=ln(2a)，当xln(2a)时，则单调递减，所以当x=ln(2a)时，有最大值f(ln(2a)=2+2ln(2a)，要使命题成立，则2+2ln(2a)0，解得a2e；当时，函数g(x)=aex1是增函数，存在唯一的零点x=ln1a，f(x)=aex+2x，f(x)=aex+22，即为增函数，又f(0)=a0，所以有唯一的，要使不等式f(x)g(x)0恒成立，只有x0=ln1a，1+2ln1a
41、=0，解得a=e；综上所述，的取值范围为,2ee.故答案为：,2ee.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.3614【解析】【分析】构造函数ux=xaxb，分情况讨论函数的单调性，并求最值.【详解】设的最大值为Mb，令ux=xaxb，则ux=12xa在x0,4上，当ux0时，即a14时，ux单调递增，此时bux24ab，当b12a时，Mb=24ab，当b12a时，Mb=b，从而当a14时，b=12a时，Mb取最小值，Mbmin=12a12，当a14时，ux在0,14a2上单调递增，在14b2,4上单调递减，在
42、a14,12时，bux14ab，当b=18a时，Mbmin=18a14，在a12,+，时，24abu(x)14ab，当b=12a+18a时，Mbmin=2a+18a114，对任意实数，总存在实数，使得不等式f(x0)m成立等价于mf(x)max恒成立，m14，故的最大值为14，故答案为：14.37(,2)【解析】【分析】去掉绝对值得到分段函数，分别讨论、，结合函数的导数研究单调性，再通过存在性进行求解.【详解】f(x)=1x+|2xa|=2x+1xa,xa21x2x+2a,xa2当，时，f(x)=1x2x+a，f(x)=1x220，则在(,0)单调递减，不满足题意（舍）；当，时，f(x)=2x
43、+1xa,a2x01x2x+2a,xa2，当xa2时，f(x)=1x22f(a2),；当a2x0时，由f(x)=21x2=0，得x=22， 当a222，即a2时，a2x0，则f(x)0恒成立，则f(x)f(a2)，不满足题意（舍）；当a222，即a2时，a2xf(a2)，则满足存在相异的实数，使得成立，所以a2.故答案为：(,2).383342,2【解析】【分析】先验证x=0时，不等式恒成立，再分离参数的方法得到2xx2ax+bx2，由图可得出的最大值，然后利用导数法以及数形结合求的取值范围，即可得到答案【详解】解：由题可知，当x=0时，不等式化为11，显然恒成立；当x0,2时，由1x3+ax
44、2+bx+11，得到2x3ax2+bxx3，即2xx2ax+bx2恒成立，即函数y=ax+b在x0,2上的图象在fx=2xx2和gx=x2之间，fx=2x22x=21x3x2，当时，此时函数单调递增，当1x2时，此时函数单调递减，由图可知的最大值为0，y=ax与相切时最小，设切点，则切线方程为x=2x022x0xx0+2x0x02，切线过原点，可得x0=34，则切线斜率a=2342234=6342=3234，当y=ax经过2,4时，最大，此时a=2，所以实数的取值范围为3342,2故答案为：3342,2【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解决本题的关键在于将问题转
45、化为2xx2ax+bx2恒成立，利用数形结合思想找到临界位置求出的最大值和最小值，进而求解.39ln22#2+ln2【解析】【分析】构造函数fx=5e8x42xa5+48，由题可得fxmin0，求导可得x00,1，使fxmin=fx0=5e8x04e10x0+48，利用换元法t=e2x01t0设x=e2x2x+a，则x=2e2x20且不恒为零，即在上单调递增，故x0=a+1当1a0，满足题意当2a1，0=1+ae240，则x00,1，使x0=0，即e2x02x0+a=0当x0,x0时，x0，即，故在0,x0上单调递减，在x0,+上单调递增，则fxmin=fx0=5e8x04e10x0+48记t
46、=e2x01te2，令fx0=gt=5t44t5+48，gt=20t31t0，则gt在上单调递减，由gt0且g2=0，知1t2，即1e2x02，故0x012ln2.设Px=2xe2x，则Px=21e2x0，故Px在上单调递减，故a=Px0P12ln2=ln22，因此实数的最小值是ln22故答案为：ln22【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键就是利用导数分析函数的单调性，将问题转化为fxmin0，在求实数的取值范围时，充分利用了函数极值点所满足的条件，将转化为函数的值域，结合导数法来求解.404【解析】【分析】应用导数研究函数的单调性，求得函数的最值，结合条件，求得结果，将题的条件转化是解题的关键【详解】解：由题意知：x01，+，fx0=x0lnx0+1ax0+ax0lnx0+x0x01成立，则令gx=xlnx+xx1，x1，+，gx=xlnx2x12，g3=3ln324=1ln340，x03,4,使得gx0=0，可得lnx0=x02，x1，x0时，gx0，gx递增，gxmin=gx0=x0lnx0+x0x01=x0(x02)+x0x01=x0，ax0即可，又aZ，amin=4故答案为4